р

Давай разберём задачу о геометрической прогрессии.

В условии дано:

• \( a_7 = 99 \) — седьмой член прогрессии
• \( a_{11} = 801 \) — одиннадцатый член прогрессии

Наша цель — найти сумму членов прогрессии, заключённых между этими членами, то есть, от \( a_8 \) до \( a_{10} \) включительно.

Основные формулы:

Основное свойство геометрической прогрессии:
\[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1}, \] где \( a_n \) — n-й член прогрессии, \( q \) — знаменатель прогрессии, \( a_1 \) — первый член прогрессии.

Шаг 1: Найдём знаменатель прогрессии \( q \).

Известно:

\[ a_7 = a_1 \cdot q^6 = 99, \] \[ a_{11} = a_1 \cdot q^{10} = 801. \]

Разделим второе уравнение на первое:

\[ \frac{a_{11}}{a_7} = \frac{a_1 \cdot q^{10}}{a_1 \cdot q^6} = q^4. \]

Подставим значения:

\[ \frac{801}{99} = q^4. \]

Сократим дробь:

\[ \frac{801}{99} = \frac{89}{11}, \]

Теперь найдём \( q \):

\[ q^4 = 9 \quad \Rightarrow \quad q = \sqrt[4]{9} = \sqrt{3}. \]

Шаг 2: Найдём промежуточные члены \( a_8 \), \( a_9 \), \( a_{10} \).

Для \( a_8 \):

\[ a_8 = a_7 \cdot q = 99 \cdot \sqrt{3}. \]

Для \( a_9 \):

\[ a_9 = a_8 \cdot q = 99 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 99 \cdot 3 = 297. \]

Для \( a_{10} \):

\[ a_{10} = a_9 \cdot q = 297 \cdot \sqrt{3}. \]

Шаг 3: Найдём сумму \( S = a_8 + a_9 + a_{10} \).

\[ S = 99\sqrt{3} + 297 + 297\sqrt{3}. \]

Сложим:

\[ S = (99 + 297)\sqrt{3} + 297 = 396\sqrt{3} + 297. \]

Ответ

Сумма членов прогрессии, заключённых между седьмым и одиннадцатым, равна \( 396\sqrt{3} + 297 \). Это число может быть округлено, если необходимо, или оставлено в аналитическом виде.