найди сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если b6=1/10 q =1/5 .
Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, давайте сначала определим формулы и значения, которые нам нужны.
Шаг 1: Понимание геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждое следующее число получается умножением предыдущего на постоянный коэффициент, называемый знаменателем (q). Обозначим первый член геометрической прогрессии как \( a \).
Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так: \[ b_n = a \cdot q^{n-1} \] где:
- \( b_n \) — n-й член прогрессии,
- \( a \) — первый член,
- \( q \) — знаменатель,
- \( n \) — номер члена.
Шаг 2: Используем данные задачи
В условии задачи нам даны значения:
- \( b_6 = \frac{1}{10} \)
- \( q = \frac{1}{5} \)
Шаг 3: Найдем первый член
Используя формулу для 6-го члена, мы можем выразить \( a \):
\[
b_6 = a \cdot q^{6-1} = a \cdot q^5
\]
Подставим известные значения:
\[
\frac{1}{10} = a \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^5
\]
Теперь вычислим \( \left(\frac{1}{5}\right)^5 \):
\[
\left(\frac{1}{5}\right)^5 = \frac{1}{3125}
\]
Теперь подставим это обратно в уравнение:
\[
\frac{1}{10} = a \cdot \frac{1}{3125}
\]
Чтобы найти \( a \), умножим обе стороны на 3125:
\[
a = \frac{1}{10} \cdot 3125 = 312.5
\]
Шаг 4: Найдем сумму первых пяти членов
Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
\[
S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q}
\]
Для первых пяти членов (\( n = 5 \)):
\[
S_5 = a \frac{1 - q^5}{1 - q}
\]
Подставим известные значения:
\[
S_5 = 312.5 \frac{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^5}{1 - \frac{1}{5}}
\]
Сначала найдем \( 1 - \left(\frac{1}{5}\right)^5 = 1 - \frac{1}{3125} = \frac{3124}{3125} \), а также \( 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \).
Теперь подставим значения в формулу суммы: \[ S_5 = 312.5 \cdot \frac{\frac{3124}{3125}}{\frac{4}{5}} \] Упрощаем: \[ S_5 = 312.5 \cdot \frac{3124}{3125} \cdot \frac{5}{4} = 312.5 \cdot \frac{3124 \cdot 5}{3125 \cdot 4} \] Теперь вычислим: \[ S_5 = 312.5 \cdot \frac{15620}{12500} \] Упрощаем: \[ S_5 = 312.5 \cdot 1.2496 \approx 390 \]
Ответ: Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии составляет примерно 390.
