Рассмотрим задачу о прямоугольном треугольнике, в котором один катет вдвое больше другого. Обозначим короткий катет как ( a ) и длинный катет как ( b ). По условию задачи, ( b = 2a ).
Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник и применить теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
[
c^2 = a^2 + b^2,
]
где ( c ) — это длина гипотенузы.
Подставим значение ( b = 2a ) в уравнение:
[
c^2 = a^2 + (2a)^2.
]
Теперь разложим квадрат второго катета:
[
c^2 = a^2 + 4a^2.
]
Это упрощается до:
[
c^2 = 5a^2.
]
Теперь мы можем взять корень из обеих сторон:
[
c = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}.
]
Теперь у нас есть длины катетов и гипотенузы:
- Короткий катет ( a )
- Длинный катет ( b = 2a )
- Гипотенуза ( c = a\sqrt{5} )
Теперь найдем отношение длин катетов и гипотенузы. Мы можем выразить их в виде пропорций.
Отношение длин катетов:
[
\frac{a}{b} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}.
]
Отношение длин катетов к гипотенузе:
- Для короткого катета:
[
\frac{a}{c} = \frac{a}{a\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}.
]
- Для длинного катета:
[
\frac{b}{c} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}.
]
Итак, отношение длин катетов и гипотенузы в данном треугольнике выглядит следующим образом:
- Отношение катетов: ( 1:2 ).
- Для короткого катета к гипотенузе: ( 1:\sqrt{5} ).
- Для длинного катета к гипотенузе: ( 2:\sqrt{5} ).
Таким образом, мы получили искомые соотношения.
