Найдите первый член геометрической прогрессии (bn), знаменатель которой равен q, если: b4=8, b7=-64.
Решим задачу, шаг за шагом, чтобы понять, как найти первый член геометрической прогрессии.
Геометрическая прогрессия определяется следующим образом:
- Первый член прогрессии обозначим как \( b_1 \).
- Каждый следующий член прогрессии получается путём умножения предыдущего члена на общее отношение (знаменатель) \( q \).
Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]
В нашем случае мы знаем \( b_4 = 8 \) и \( b_7 = -64 \). Мы можем записать эти значения с использованием формулы для n-го члена:
Для \( b_4 \): \[ b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = 8 \] Таким образом, у нас есть первое уравнение: \[ b_1 \cdot q^3 = 8 \tag{1} \]
Для \( b_7 \): \[ b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6 = -64 \] Это даёт нам второе уравнение: \[ b_1 \cdot q^6 = -64 \tag{2} \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Мы можем выразить \( b_1 \) из первого уравнения (1) и подставить его во второе уравнение (2).
Из уравнения (1): \[ b_1 = \frac{8}{q^3} \tag{3} \]
Подставим (3) в (2): \[ \frac{8}{q^3} \cdot q^6 = -64 \]
Упростим это уравнение: \[ 8 \cdot q^{6-3} = -64 \] \[ 8 \cdot q^3 = -64 \]
Теперь разделим обе стороны на 8: \[ q^3 = -8 \]
Чтобы найти \( q \), возьмём кубический корень: \[ q = -2 \]
Теперь, когда мы нашли \( q \), можем подставить его обратно в (3), чтобы найти \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{8}{(-2)^3} = \frac{8}{-8} = -1 \]
Таким образом, первый член геометрической прогрессии \( b_1 \) равен: \[ \boxed{-1} \]
Обсуждение
4 сообщениязапиши решение по действиям
Конечно! Вот решение по шагам:
Дано:
- Члены геометрической прогрессии: \( b_4 = 8 \) и \( b_7 = -64 \).
- Знаменатель (общее отношение) прогрессии: \( q \).
Формулы:
Формула для n-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]Для \( b_4 \): \[ b_4 = b_1 \cdot q^3 \] Подставим значение: \[ b_1 \cdot q^3 = 8 \tag{1} \]
Для \( b_7 \): \[ b_7 = b_1 \cdot q^6 \] Подставим значение: \[ b_1 \cdot q^6 = -64 \tag{2} \]
Шаг 1: Выразим \( b_1 \) из уравнения (1)
Из уравнения (1): \[ b_1 = \frac{8}{q^3} \tag{3} \]
Шаг 2: Подставим \( b_1 \) в уравнение (2)
Подставляем (3) в (2): \[ \frac{8}{q^3} \cdot q^6 = -64 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Упростим уравнение: \[ 8 \cdot q^{6-3} = -64 \] \[ 8 \cdot q^3 = -64 \]
Шаг 4: Разделим обе стороны на 8
\[ q^3 = -8 \]
Шаг 5: Найдем \( q \)
Находим кубический корень: \[ q = -2 \]
Шаг 6: Подставим значение \( q \) обратно в (3) для нахождения \( b_1 \)
Подставляем найденный \( q \) в (3): \[ b_1 = \frac{8}{(-2)^3} = \frac{8}{-8} = -1 \]
Ответ:
Первый член геометрической прогрессии \( b_1 \) равен:
\[
\boxed{-1}
\]
напиши тоже самое,но только без скриптов и различных знаков
Конечно! Вот решение без использования скриптов и математических знаков:
Дано: Члены геометрической прогрессии b4 равен 8 и b7 равен -64. Знаменатель прогрессии обозначим как q.
Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется следующая формула: n-й член равен первому члену, умноженному на знаменатель, возведённый в степень n-1.
Для четвёртого члена b4 формула будет выглядеть так: первый член, умноженный на q в третьей степени, равен 8. Это даст нам первое уравнение.
Для седьмого члена b7 формула будет таковой: первый член, умноженный на q в шестой степени, равен -64. Это создаст второе уравнение.
Теперь выражаем первый член из первого уравнения: он равен 8, делённому на q в третьей степени.
Подставляем этот найденный первый член во второе уравнение: 8, делённое на q в третьей степени, умноженное на q в шестой степени, равно -64.
Упрощаем это уравнение: 8, умноженное на q в третьей степени, равно -64.
Разделим обе стороны уравнения на 8. Получаем, что q в третьей степени равен -8.
Находим значение q, взяв кубический корень. Получаем, что q равен -2.
Подставляем найденное значение q обратно в выражение для первого члена: первый член равен 8, делённому на -2 в третьей степени.
Упрощаем это выражение: первый член равен 8, делённому на -8, что равно -1.
Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен -1.
