Решим задачу, шаг за шагом, чтобы понять, как найти первый член геометрической прогрессии.
Геометрическая прогрессия определяется следующим образом:
- Первый член прогрессии обозначим как ( b_1 ).
- Каждый следующий член прогрессии получается путём умножения предыдущего члена на общее отношение (знаменатель) ( q ).
Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так:
[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
]
В нашем случае мы знаем ( b_4 = 8 ) и ( b_7 = -64 ). Мы можем записать эти значения с использованием формулы для n-го члена:
Для ( b_4 ):
[
b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = 8
]
Таким образом, у нас есть первое уравнение:
[
b_1 \cdot q^3 = 8 \tag{1}
]
Для ( b_7 ):
[
b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6 = -64
]
Это даёт нам второе уравнение:
[
b_1 \cdot q^6 = -64 \tag{2}
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Мы можем выразить ( b_1 ) из первого уравнения (1) и подставить его во второе уравнение (2).
Из уравнения (1):
[
b_1 = \frac{8}{q^3} \tag{3}
]
Подставим (3) в (2):
[
\frac{8}{q^3} \cdot q^6 = -64
]
Упростим это уравнение:
[
8 \cdot q^{6-3} = -64
]
[
8 \cdot q^3 = -64
]
Теперь разделим обе стороны на 8:
[
q^3 = -8
]
Чтобы найти ( q ), возьмём кубический корень:
[
q = -2
]
Теперь, когда мы нашли ( q ), можем подставить его обратно в (3), чтобы найти ( b_1 ):
[
b_1 = \frac{8}{(-2)^3} = \frac{8}{-8} = -1
]
Таким образом, первый член геометрической прогрессии ( b_1 ) равен:
[
\boxed{-1}
]
