Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3 , а плоский угол при вершине пирамиды равен 30° . Найди площадь основания пирамиды.

Для решения задачи о нахождении площади основания правильной четырёхугольной пирамиды, где высота \( h = 3 \) и плоский угол при вершине пирамиды \( \alpha = 30° \), мы будем следовать пошагово:

Шаг 1: Понимание данных

• Правильная четырёхугольная пирамида — это пирамида, основание которой является квадратом, а все боковые грани — равны и являются треугольниками.
• Высота пирамиды \( h = 3 \) — это перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к основанию.
• Плоский угол \( \alpha = 30° \) — это угол между высотой пирамиды и боковым ребром, выступающим из вершины к какому-либо из вершин квадрата основания.

Шаг 2: Определение бокового ребра и стороны основания

Для нахождения стороны основания воспользуемся треугольником, который образуется высотой пирамиды, отрезком, который соединяет вершину пирамиды с центром основания, и боковым ребром.

1. Обозначим:

   • \( O \) — центр основания (квадрат),
   • \( A \) — вершина пирамиды,
   • \( H \) — проекция точки \( A \) на основание (в центре основания).

2. Угол \( \alpha \) находится между высотой \( AH \) и боковым ребром \( AO \).

В данном случае мы имеем:

• \( AH = h = 3 \) (высота),
• угол \( \angle AOH = 30° \).

Шаг 3: Использование тригонометрии

В прямом треугольнике \( AOH \) по определению косинуса угла получаем:

\[ \cos(\alpha) = \frac{AH}{AO} \]

Отсюда следует, что длина бокового ребра \( AO \):

\[ AO = \frac{AH}{\cos(30°)} = \frac{3}{\cos(30°)}. \]

Косинус угла \( 30° \) равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), следовательно:

\[ AO = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}. \]

Шаг 4: Находим сторону основания

Поскольку \( O \) является центром квадрата и расстояние от \( O \) до любой его вершины \( S \) будет равняться половине диагонали квадрата, можем записать выражение через сторону квадрата \( a \):

\[ OS = \frac{a \sqrt{2}}{2}. \]

Так как \( AO = OS \), мы можем записать:

\[ 2\sqrt{3} = \frac{a \sqrt{2}}{2}. \]

При умножении обеих сторон на 2 получаем:

\[ 4\sqrt{3} = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6}. \]

Шаг 5: Нахождение площади основания

Площадь основания квадрата вычисляется по формуле:

\[ S = a^2. \]

Подставим найденное значение \( a \):

\[ S = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24. \]

Ответ

Таким образом, площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 24.