Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3, а плоский угол при вершине пирамиды равен 30°. Найди площадь основания пирамиды.

Для решения задачи о нахождении площади основания правильной четырёхугольной пирамиды, где высота \( h = 3 \) и плоский угол при вершине пирамиды \( \alpha = 30° \), мы будем следовать пошагово: ### Шаг 1: Понимание данных - Правильная четырёхугольная пирамида — это пирамида, основание которой является квадратом, а все боковые грани — равны и являются треугольниками. - Высота пирамиды \( h = 3 \) — это перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к основанию. - Плоский угол \( \alpha = 30° \) — это угол между высотой пирамиды и боковым ребром, выступающим из вершины к какому-либо из вершин квадрата основания. ### Шаг 2: Определение бокового ребра и стороны основания Для нахождения стороны основания воспользуемся треугольником, который образуется высотой пирамиды, отрезком, который соединяет вершину пирамиды с центром основания, и боковым ребром. 1. Обозначим: - \( O \) — центр основания (квадрат), - \( A \) — вершина пирамиды, - \( H \) — проекция точки \( A \) на основание (в центре основания). 2. Угол \( \alpha \) находится между высотой \( AH \) и боковым ребром \( AO \). В данном случае мы имеем: - \( AH = h = 3 \) (высота), - угол \( \angle AOH = 30° \). ### Шаг 3: Использование тригонометрии В прямом треугольнике \( AOH \) по определению косинуса угла получаем: \[ \cos(\alpha) = \frac{AH}{AO} \] Отсюда следует, что длина бокового ребра \( AO \): \[ AO = \frac{AH}{\cos(30°)} = \frac{3}{\cos(30°)}. \] Косинус угла \( 30° \) равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), следовательно: \[ AO = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}. \] ### Шаг 4: Находим сторону основания Поскольку \( O \) является центром квадрата и расстояние от \( O \) до любой его вершины \( S \) будет равняться половине диагонали квадрата, можем записать выражение через сторону квадрата \( a \): \[ OS = \frac{a \sqrt{2}}{2}. \] Так как \( AO = OS \), мы можем записать: \[ 2\sqrt{3} = \frac{a \sqrt{2}}{2}. \] При умножении обеих сторон на 2 получаем: \[ 4\sqrt{3} = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6}. \] ### Шаг 5: Нахождение площади основания Площадь основания квадрата вычисляется по формуле: \[ S = a^2. \] Подставим найденное значение \( a \): \[ S = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24. \] ### Ответ Таким образом, площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 24.