Решить проверочную

Давайте последовательно решим каждое задание из проверочной работы:

1. Найдите значение выражения

а) \(\frac{7}{3} \cdot \sqrt{54}\)

Решение:

1. Найдем \(\sqrt{54}\). Можно выразить 54 как \(54 = 9 \cdot 6 = 3^2 \cdot 6\).
2. Тогда \(\sqrt{54} = \sqrt{3^2 \cdot 6} = 3\sqrt{6}\).
3. Подставляем в выражение: \(\frac{7}{3} \cdot 3\sqrt{6} = 7\sqrt{6}\).

Ответ: \(7\sqrt{6}\).

б) \(4 \cdot \frac{6^{3/4}}{8}\)

Решение:

1. Найдем \(6^{3/4}\), что эквивалентно \((\sqrt[4]{6})^3\).
2. Без вычисления в столбик, оставляем как \(6^{3/4}\).
3. Подставляем: \(4 \cdot \frac{6^{3/4}}{8} = \frac{4 \cdot 6^{3/4}}{8} = \frac{4}{8} \cdot 6^{3/4} = \frac{1}{2} \cdot 6^{3/4} = \frac{6^{3/4}}{2}\).

Ответ: \(\frac{6^{3/4}}{2}\).

в) \(\sqrt{648} \cdot \frac{7}{8}\)

Решение:

1. Найдем \(\sqrt{648}\). Разложим: \(648 = 81 \cdot 8 = 9^2 \cdot 8\).
2. \(\sqrt{648} = \sqrt{81 \cdot 8} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{8} = 9 \cdot \sqrt{8}\).
3. \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\).
4. Тогда \(\sqrt{648} = 9 \cdot 2\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\).
5. Подставляем в выражение: \(18\sqrt{2} \cdot \frac{7}{8} = \frac{18 \cdot 7\sqrt{2}}{8} = \frac{126\sqrt{2}}{8} = \frac{63\sqrt{2}}{4}\).

Ответ: \(\frac{63\sqrt{2}}{4}\).

2. Решите уравнение

\(x^2 + 5x = -6\)

Решение:

1. Переписываем уравнение: \(x^2 + 5x + 6 = 0\).
2. Это квадратное уравнение, решим его с использованием формулы: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = 6\).
3. Дискриминант: \(b^2 - 4ac = 25 - 24 = 1\).
4. Найдем корни: \(x = \frac{-5 \pm 1}{2}\).
5. \(x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3\).

Так как уравнение имеет два корня, то ответ: -2 и -3.

3. Решите уравнение

\(x^2 - 2x - 3 = 0\)

Решение:

1. Это квадратное уравнение, решаем как выше.
2. Дискриминант: \(b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\).
3. Корни: \(x = \frac{2 \pm 4}{2}\).
4. \(x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3\), \(x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1\).

Ответ: 3 и -1.

4. Решите неравенства

а) \((x - 2)(x - 3) \geq 0\)

Решение:

1. Найдите нули: \(x - 2 = 0\) и \(x - 3 = 0\), т.е. \(x = 2\) и \(x = 3\).
2. Определите знаки на промежутках \((-\infty, 2)\), \( (2, 3) \), \( (3, \infty)\).
3. Таблица знаков:
   • \((-\infty, 2)\), \(+\).
   • \((2, 3)\), \(-\).
   • \((3, \infty)\), \(+\).

Ответ: \(x \leq 2\) или \(x \geq 3\).

б) \(\frac{x + 3}{x - 1} < 0\)

Решение:

1. Нули: \(x + 3 = 0\), \(x = -3\). Полюс: \(x - 1 = 0\), \(x = 1\).
2. Знаки на промежутках \((-∞, -3)\), \((-3, 1)\), \((1, ∞)\).
3. Таблица знаков:
   • \((-∞, -3)\), \(+\).
   • \((-3, 1)\), \(-\).
   • \((1, ∞)\), \(+\).

Ответ: \(-3 < x < 1\).

5. Решите уравнение

\(x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 12x = 0\)

Решение:

1. Вынесем \(x\): \(x(x^3 + 4x^2 - 2x - 12) = 0\).
2. \(x = 0\) — один корень.
3. Воспользуемся методами: например, программированным или перебора (например, теоремой о рациональных корнях) для кубического уравнения или методом Виета.
4. Корни: \(x = 0\), \(x = -2\), \(x = -3\).

Ответ: 0, -2, -3.

Это детализированное решение каждого задания.