в прямоугольном треугольнике abc с прямым углом В <C= 30°, BC= 5√27.Найти AC

В данной задаче мы имеем прямоугольный треугольник ABC, где угол B является прямым углом, угол C равен 30°, а сторона BC (которая является противолежащей к углу C) известна и равна \( 5\sqrt{27} \).

Наша цель — найти длину стороны AC (которая является прилежащей к углу C).

Шаг 1: Понимание свойств треугольника

В прямоугольном треугольнике, если один из углов (C) равен 30°, то угол A будет 60° (поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, а угол B — 90°). В этом треугольнике реализуется набор треугольных соотношений, основанных на тригонометрии.

Для угла 30° в прямоугольном треугольнике:

• Противолежащая сторона (BC) связана с гипотенузой (AB) и прилежащей стороной (AC) через соотношения, которые мы можем использовать.

Шаг 2: Использование тригонометрических свойств

Для треугольника ABC:

• Сторона, противолежащая углу 30° (BC), / гипотенуза (AB) = sin(30°)
• Сторона, прилежащая к углу 30° (AC) / гипотенуза (AB) = cos(30°)

Шаг 3: Находим гипотенузу

Сначала нам нужно найти гипотенузу AB. Зная, что sin(30°) = 1/2: \[ \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2} \] Подставляем известные значения: \[ \frac{5\sqrt{27}}{AB} = \frac{1}{2} \] Из данного равенства можем выразить AB: \[ AB = 2 \cdot 5\sqrt{27} \] \[ AB = 10\sqrt{27} \]

Шаг 4: Находим сторонy AC

Теперь, используя cos(30°) = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Подставляем значение AB: \[ \frac{AC}{10\sqrt{27}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Теперь решаем для AC: \[ AC = 10\sqrt{27} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ AC = 5\sqrt{27 \cdot 3} = 5\sqrt{81} = 5 \cdot 9 = 45 \]

Ответ

Таким образом, длина стороны AC равна 45.