Найди восьмой член геометрической прогрессии: 5корней из 3 ;15; ...
Чтобы найти восьмой член геометрической прогрессии (ГП), нам необходимо знать первый член прогрессии и знаменатель прогрессии (или отношение).
Шаг 1: Определяем первый член и знаменатель прогрессии
Из условия задачи видно, что:
- Первый член прогрессии \( a_1 = 5\sqrt{3} \)
- Второй член прогрессии \( a_2 = 15 \)
Шаг 2: Находим знаменатель прогрессии
Знаменатель (или отношение) геометрической прогрессии \( q \) можно найти следующим образом: \[ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{15}{5\sqrt{3}} \]
Шаг 3: Упрощаем знаменатель
Упростим дробь: \[ q = \frac{15}{5\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \quad (\text{поскольку } \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}) \]
Итак, мы нашли:
- \( a_1 = 5\sqrt{3} \)
- \( q = \sqrt{3} \)
Шаг 4: Формула для нахождения n-го члена ГП
n-й член геометрической прогрессии можно найти по формуле: \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]
Шаг 5: Находим восьмой член прогрессии
Теперь подставим значения в формулу для нахождения восьмого члена (\( n = 8 \)): \[ a_8 = a_1 \cdot q^{8 - 1} = 5\sqrt{3} \cdot q^7 \]
Шаг 6: Вычисляем \( q^7 \)
Сначала найдем \( q^7 \): \[ q^7 = (\sqrt{3})^7 = (3^{1/2})^7 = 3^{7/2} = 3^3 \cdot \sqrt{3} = 27\sqrt{3} \]
Шаг 7: Подставляем \( q^7 \) в формулу для \( a_8 \)
Подставим это значение в формулу: \[ a_8 = 5\sqrt{3} \cdot 27\sqrt{3} \]
Шаг 8: Выполним умножение
Теперь давайте выполню умножение: \[ a_8 = 5 \cdot 27 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 135 \cdot 3 = 405 \]
Ответ
Восьмой член геометрической прогрессии равен 405.
