Чтобы найти восьмой член геометрической прогрессии (ГП), нам необходимо знать первый член прогрессии и знаменатель прогрессии (или отношение).
Шаг 1: Определяем первый член и знаменатель прогрессии
Из условия задачи видно, что:
- Первый член прогрессии ( a_1 = 5\sqrt{3} )
- Второй член прогрессии ( a_2 = 15 )
Шаг 2: Находим знаменатель прогрессии
Знаменатель (или отношение) геометрической прогрессии ( q ) можно найти следующим образом:
[
q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{15}{5\sqrt{3}}
]
Шаг 3: Упрощаем знаменатель
Упростим дробь:
[
q = \frac{15}{5\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \quad (\text{поскольку } \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3})
]
Итак, мы нашли:
- ( a_1 = 5\sqrt{3} )
- ( q = \sqrt{3} )
Шаг 4: Формула для нахождения n-го члена ГП
n-й член геометрической прогрессии можно найти по формуле:
[
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
]
Шаг 5: Находим восьмой член прогрессии
Теперь подставим значения в формулу для нахождения восьмого члена (( n = 8 )):
[
a_8 = a_1 \cdot q^{8 - 1} = 5\sqrt{3} \cdot q^7
]
Шаг 6: Вычисляем ( q^7 )
Сначала найдем ( q^7 ):
[
q^7 = (\sqrt{3})^7 = (3^{1/2})^7 = 3^{7/2} = 3^3 \cdot \sqrt{3} = 27\sqrt{3}
]
Шаг 7: Подставляем ( q^7 ) в формулу для ( a_8 )
Подставим это значение в формулу:
[
a_8 = 5\sqrt{3} \cdot 27\sqrt{3}
]
Шаг 8: Выполним умножение
Теперь давайте выполню умножение:
[
a_8 = 5 \cdot 27 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 135 \cdot 3 = 405
]
Ответ
Восьмой член геометрической прогрессии равен 405.
