О В прямоугольном треугольнике АВС <C =90°, АС=8 см, LABC =45°. Найдите: a)AC; б) высоту CD, проведенную к гипотенузе.
В прямоугольном треугольнике ABC с углом C = 90° и углом A = 45°, по свойствам углов можно сказать, что угол B также равен 45°, так как сумма углов в треугольнике равна 180°.
Таким образом, треугольник ABC - равнобедренный, и его ножки AC и BC равны. Зная, что AC = 8 см, можно найти длину BC:
a) Длина AC уже известна и равна 8 см.
Теперь найдем высоту CD, проведенную к гипотенузе AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит ее пополам и пересекает ее под углом 90°. Напоминаем, что для нахождения высоты можно использовать формулу:
\[ h = \frac{a \cdot b}{c} \] где \( a \) и \( b \) - длины катетов, а \( c \) - длина гипотенузы.
Для нашего треугольника:
- Катеты равны 8 см.
- Длина гипотенузы AB может быть найдена по теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \text{ см}. \]
Подставляем значения в формулу для высоты:
\[ h = \frac{8 \cdot 8}{8\sqrt{2}} = \frac{64}{8\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \text{ см}. \]
Таким образом, ответы на вопросы:
a) Длина AC = 8 см;
б) Высота CD ≈ 4√2 см ≈ 5.66 см.
