Чтобы понять, какое равенство справедливо для любых чисел ( m ) и ( n ) и любых векторов ( \mathbf{s} ) и ( \mathbf{t} ), рассмотрим предложенные варианты и основы алгебры векторов.
1. Первый вариант
[
m(\mathbf{s} + \mathbf{t}) = m \mathbf{s} + \mathbf{t}
]
Это равенство неверно. Правильное правило гласит, что при умножении скаляром суммы векторов, результатом будет сумма произведений скаляра на каждый вектор:
[
m(\mathbf{s} + \mathbf{t}) = m \mathbf{s} + m \mathbf{t}
]
2. Второй вариант
[
(mn)\mathbf{s} = m(n\mathbf{s})
]
Это равенство верно. Оно демонстрирует, что умножение вектора на произведение двух скалярных чисел ( m ) и ( n ) эквивалентно поочередному умножению вектора на первое число, а затем на второе. Это называется распределительным свойством умножения относительно векторов.
3. Третий вариант
[
1 \cdot \mathbf{s} = \mathbf{1}
]
Этот вариант также неверен. Правильное утверждение должно быть, что умножение вектора на единицу не изменяет вектор:
[
1 \cdot \mathbf{s} = \mathbf{s}
]
Заключение
Из приведенных вариантов верным является второй:
[
(mn) \mathbf{s} = m(n \mathbf{s})
]
Это соответствует обычным правилам операции умножения скаляров и векторов.
