Для того чтобы расставить слова по местам в данном предложении, давайте проанализируем контекст. Мы говорим о древнерусском государстве и о событиях, связанных с его защитой от внешних врагов.
Давайте разберем фразу по частям:
«в ... году» — данная часть предложения указывает на конкретный год, когда произошли события. Наиболее вероятный вариант — это 1185 год, когда произошло известное сражение с половцами в битве на реке Каяле.
«под руководством ...» — здесь мы должны указать имя человека, который руководил войсками. Наиболее подходящее имя в контексте — это Игорь Святославич, князь черниговский, который возглавлял поход против половцев.
«были окончательно разгромлены ...» — здесь мы указываем название племени, которое было разгромлено. В данном случае это будут «половцы», которые действительно досаждали Русскому государству на протяжении многих лет.
Итак, подставляя все вместе, мы получаем следующее:
«В 1185 году под руководством Игоря Святославича были окончательно разгромлены половцы, многие годы досаждавшие Русскому государству.»
Таким образом, в вашем предложении слова располагаются в порядке: 1185, Игоря Святославича, половцы.