Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать формулу для колебательного контура, который состоит из конденсатора и катушки индуктивности. Частота электрических колебаний в таком контуре определяется следующей формулой:
[
f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
]
где:
- ( f ) — частота колебаний (в герцах),
- ( L ) — индуктивность (в генри),
- ( C ) — ёмкость (в фарадах).
Дано:
- ёмкость ( C = 200 , \text{пФ} = 200 \times 10^{-12} , \text{Ф} )
- частота ( f = 50 , \text{кГц} = 50 \times 10^{3} , \text{Гц} )
Теперь мы можем преобразовать формулу, чтобы выразить индуктивность ( L ):
Сначала возьмем обратное значение частоты:
[
f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \implies 2\pi f = \frac{1}{\sqrt{LC}}
]
Возведем обе стороны в квадрат:
[
(2\pi f)^2 = \frac{1}{LC}
]
Перепишем уравнение и выразим ( L ):
[
L = \frac{1}{(2\pi f)^2 C}
]
Теперь подставим известные значения:
[
L = \frac{1}{(2\pi \cdot 50 \times 10^{3})^2 \cdot (200 \times 10^{-12})}
]
- Сначала найдем значение ( 2\pi \cdot 50 \times 10^{3} ):
[
2\pi \cdot 50 \times 10^{3} \approx 314159.27 , \text{рад/с}
]
- Теперь возведем это значение в квадрат:
[
(314159.27)^2 \approx 9.8696 \times 10^{10} , \text{(рад/с)}^2
]
- Подставляем в формулу для ( L ):
[
L = \frac{1}{9.8696 \times 10^{10} \cdot (200 \times 10^{-12})}
]
- Упростим:
[
L = \frac{1}{1.97392 \times 10^{-1}} \approx 5.06 , \text{Гн}
]
Итак, нужная индуктивность для достижения частоты 50 кГц в колебательном контуре с ёмкостью 200 пФ составляет примерно 5.06 Гн.
