Найдите количество трёхзначных натуральных чисел X, для которых истинно высказывание: (X ≥ 200) И (X кратно 35) И НЕ (X ≥ 700).

Чтобы найти количество трёхзначных натуральных чисел \( X \), удовлетворяющих следующим условиям: 1. \( X \geq 200 \) 2. \( X \) кратно 35 3. \( X < 700 \) (это эквивалентно условию \( \neg(X \geq 700) \)) Сначала определим, какие трёхзначные числа кратны 35. ### Шаг 1: Найдем границы для чисел, кратных 35 Трёхзначные числа лежат в диапазоне от 100 до 999. Начнем с нахождения первого и последнего трёхзначного числа, кратного 35. - **Первое трёхзначное число, кратное 35:** Чтобы найти его, мы можем разделить 100 на 35 и округлить вверх до ближайшего целого числа, а затем умножить на 35. \[ \lceil \frac{100}{35} \rceil = \lceil 2.857 \rceil = 3 \] Первый элемент будет: \[ 3 \times 35 = 105 \] - **Последнее трёхзначное число, кратное 35:** Чтобы найти его, мы берем 999, делим на 35 и округляем вниз. \[ \lfloor \frac{999}{35} \rfloor = \lfloor 28.543 \rfloor = 28 \] Последний элемент будет: \[ 28 \times 35 = 980 \] ### Шаг 2: Найдем все трёхзначные числа, кратные 35 в заданном диапазоне Теперь нас интересуют числа, которые находятся в интервале от 105 до 980 и удовлетворяют условиям \( X \geq 200 \) и \( X < 700 \). Таким образом, мы будем искать числа кратные 35 в диапазоне от 200 до 699. - **Первое значение в диапазоне от 200 до 699:** Найдем первое число, кратное 35 и больше или равное 200. \[ \lceil \frac{200}{35} \rceil = \lceil 5.714 \rceil = 6 \] Первое число: \[ 6 \times 35 = 210 \] - **Последнее значение в диапазоне от 200 до 699:** Найдем последнее число, кратное 35 и меньше 700. \[ \lfloor \frac{699}{35} \rfloor = \lfloor 19.97 \rfloor = 19 \] Последнее число: \[ 19 \times 35 = 665 \] ### Шаг 3: Считаем количество чисел Теперь у нас есть диапазон от 210 до 665, которые кратны 35. Эти числа формируют арифметическую прогрессию, где: - Первый член: \( a = 210 \) - Последний член: \( l = 665 \) - Разность (шаг): \( d = 35 \) Чтобы найти количество членов \( n \) в этой прогрессии, используем формулу: \[ n = \frac{l - a}{d} + 1 \] Подставим известные значения: \[ n = \frac{665 - 210}{35} + 1 = \frac{455}{35} + 1 = 13 + 1 = 14 \] ### Ответ Количество трёхзначных натуральных чисел \( X \), удовлетворяющих всем условиям, равно 14.