Найдите количество трёхзначных натуральных чисел X, для которых истинно высказывание: (X ≥ 200) И (X кратно 35) И НЕ (X ≥ 700).

Чтобы найти количество трёхзначных натуральных чисел \( X \), удовлетворяющих следующим условиям:

1. \( X \geq 200 \)
2. \( X \) кратно 35
3. \( X < 700 \) (это эквивалентно условию \( \neg(X \geq 700) \))

Сначала определим, какие трёхзначные числа кратны 35.

Шаг 1: Найдем границы для чисел, кратных 35

Трёхзначные числа лежат в диапазоне от 100 до 999. Начнем с нахождения первого и последнего трёхзначного числа, кратного 35.

• Первое трёхзначное число, кратное 35: Чтобы найти его, мы можем разделить 100 на 35 и округлить вверх до ближайшего целого числа, а затем умножить на 35.

  \[ \lceil \frac{100}{35} \rceil = \lceil 2.857 \rceil = 3 \]

  Первый элемент будет:

  \[ 3 \times 35 = 105 \]

• Последнее трёхзначное число, кратное 35: Чтобы найти его, мы берем 999, делим на 35 и округляем вниз.

  \[ \lfloor \frac{999}{35} \rfloor = \lfloor 28.543 \rfloor = 28 \]

  Последний элемент будет:

  \[ 28 \times 35 = 980 \]

Шаг 2: Найдем все трёхзначные числа, кратные 35 в заданном диапазоне

Теперь нас интересуют числа, которые находятся в интервале от 105 до 980 и удовлетворяют условиям \( X \geq 200 \) и \( X < 700 \).

Таким образом, мы будем искать числа кратные 35 в диапазоне от 200 до 699.

• Первое значение в диапазоне от 200 до 699: Найдем первое число, кратное 35 и больше или равное 200.

  \[ \lceil \frac{200}{35} \rceil = \lceil 5.714 \rceil = 6 \]

  Первое число:

  \[ 6 \times 35 = 210 \]

• Последнее значение в диапазоне от 200 до 699: Найдем последнее число, кратное 35 и меньше 700.

  \[ \lfloor \frac{699}{35} \rfloor = \lfloor 19.97 \rfloor = 19 \]

  Последнее число:

  \[ 19 \times 35 = 665 \]

Шаг 3: Считаем количество чисел

Теперь у нас есть диапазон от 210 до 665, которые кратны 35. Эти числа формируют арифметическую прогрессию, где:

• Первый член: \( a = 210 \)
• Последний член: \( l = 665 \)
• Разность (шаг): \( d = 35 \)

Чтобы найти количество членов \( n \) в этой прогрессии, используем формулу:

\[ n = \frac{l - a}{d} + 1 \]

Подставим известные значения:

\[ n = \frac{665 - 210}{35} + 1 = \frac{455}{35} + 1 = 13 + 1 = 14 \]

Ответ

Количество трёхзначных натуральных чисел \( X \), удовлетворяющих всем условиям, равно 14.