Проводные наушники стоят на 900 рублей дешевле беспроводных. Во время распродажи количество процентов, на которые снизилась цена проводных наушников, оказалось на 5 больше количества процентов, на которые снизилась цена беспроводных наушников. При этом и те и другие наушники подешевели на 900 рублей. Найдите первоначальную стоимость беспроводных наушников в рублях.

Давайте разберем задачу шаг за шагом. 1. **Обозначим переменные**: - Пусть цена беспроводных наушников равна \( x \) рублей. - Тогда цена проводных наушников будет \( x - 900 \) рублей. 2. **Определим процентное снижение цен**: - Проводные наушники подешевели на 900 рублей, что составило \( \frac{900}{x - 900} \times 100 \) процентов. - Беспроводные наушники также подешевели на 900 рублей, что составило \( \frac{900}{x} \times 100 \) процентов. 3. **Условие задачи**: - По условию, процент снижения цены проводных наушников на 5% больше, чем процент снижения цены беспроводных наушников. Это можно записать как: \[ \frac{900}{x - 900} \times 100 = \frac{900}{x} \times 100 + 5 \] Упростим это уравнение. Убираем 100 из обеих частей: \[ \frac{900}{x - 900} = \frac{900}{x} + 0.05 \] 4. **Умножим обе части уравнения на \( x(x - 900) \)**, чтобы избавиться от дробей: \[ 900x = 900(x - 900) + 0.05x(x - 900) \] 5. **Раскроем скобки**: \[ 900x = 900x - 810000 + 0.05x^2 - 45x \] Сократим \( 900x \) с обеих сторон: \[ 0 = -810000 + 0.05x^2 - 45x \] Перепишем уравнение: \[ 0.05x^2 - 45x + 810000 = 0 \] Умножим все на 20, чтобы избавиться от десятичных дробей: \[ x^2 - 900x + 16200000 = 0 \] 6. **Решим квадратное уравнение** с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-900)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16200000 = 810000 - 64800000 = -63990000 \] Дискриминант отрицательный, что означает, что мы ошиблись в расчетах. Проверим уравнения и вычисления еще раз. Вернемся к исходному уравнению: \[ \frac{900}{x - 900} = \frac{900}{x} + 0.05 \] Поделим обе стороны на 900: \[ \frac{1}{x - 900} = \frac{1}{x} + \frac{0.05}{900} \] Отсюда преобразуем и найдем \( x \): \[ \frac{1}{x - 900} - \frac{1}{x} = \frac{0.05}{900} \] Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{x - (x - 900)}{x(x - 900)} = \frac{0.05}{900} \] Это упрощается до: \[ \frac{900}{x(x - 900)} = \frac{0.05}{900} \] Теперь перемножим: \[ 900^2 = 0.05 x(x - 900) \] Или: \[ 810000 = 0.05x^2 - 45x \] Далее преобразуем уравнение: \[ 0.05x^2 - 45x - 810000 = 0 \] Умножаем на 20: \[ x^2 - 900x - 16200000 = 0 \] Теперь здесь: \[ D = (-900)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16200000) = 810000 + 64800000 = 65610000 \] Извлечение корня \( D \): \[ \sqrt{65610000} = 810 \] Вычисляем: \[ x = \frac{900 \pm 810}{2} \] Мы получим \( x = 900 \) или \( x = 90 \). Но цена не может быть 90 рублей, берем: \[ x = 1710 \] Итак, ответ: первоначальная стоимость беспроводных наушников составляет **1710 рублей**.