Реши

Для решения задачи нам необходимо найти угол \( \angle CAD \).

Пошаговое решение:

1. Определение типа треугольника: В задаче даны касательные \( AC \) и \( AD \), проведенные из точки \( A \) к окружности. Согласно свойству окружности, касательные из одной точки к окружности равны между собой. Таким образом, \( AC = AD \).

2. Рассмотрение угла между касательной и хордой: Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине соответствующего центрального угла, который опирается на ту же дугу. Поскольку угол \( \angle OCD \) равен \( 30^\circ \) и является центральным углом, дуга \( CD \) (на которую он опирается) имеет угол \( 30^\circ \).

3. Использование свойства касательных и центральных углов: Поскольку касательные \( AC \) и \( AD \) равны и образуют угол \( CAD \), угол между касательной и хордой (угол в треугольнике \( CAD \)) будет равен \( \frac{1}{2} \times \angle COD \). Однако здесь мы используем, что сумма углов вокруг точки \( O \) равна \( 360^\circ \). Из этого следует, что углы \( \angle CAO \) и \( \angle DAO \) равны по \( 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ \).

4. Нахождение угла \( \angle CAD \): Поскольку \( \angle CAO = \angle DAO = 75^\circ \), угол \( \angle CAD = 180^\circ - (75^\circ + 75^\circ) = 30^\circ \).

Таким образом, угол \( \angle CAD \) равен \( 120^\circ \).

Ответ: \(120^\circ\).