Игральный кубик бросают 20 раз. Найдите вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз. Ответ округлите до тысячных.
Для решения этой задачи воспользуемся формулой для вычисления вероятности в биномиальном распределении.
Шаг 1: Понимание условий задачи
Мы имеем:
- Игральный кубик бросают 20 раз.
- Нам нужно найти вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз.
Шаг 2: Определение параметров
Для биномиального распределения нам нужно определить следующие параметры:
- \( n \) — общее количество испытаний (бросков). В нашем случае \( n = 20 \).
- \( k \) — количество успешных испытаний (выпадений шестёрки). В нашем случае \( k = 7 \).
- \( p \) — вероятность успеха в каждом испытании. Для игрального кубика вероятность выпадения шестёрки равна \( p = \frac{1}{6} \).
- \( q \) — вероятность неудачи, которая равна \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \).
Шаг 3: Формула биномиального распределения
Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит так:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, вычисляемый по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Шаг 4: Подстановка значений
- Вычисляем биномиальный коэффициент \( C(20, 7) \):
\[ C(20, 7) = \frac{20!}{7!(20-7)!} = \frac{20!}{7! \cdot 13!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 77520 \]
- Вычисляем \( p^k \) и \( q^{n-k} \):
\[ p^k = \left(\frac{1}{6}\right)^7 \] \[ q^{n-k} = \left(\frac{5}{6}\right)^{20-7} = \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \]
- Теперь подставим все значения в формулу:
\[ P(X = 7) = C(20, 7) \cdot p^7 \cdot q^{13} \\ P(X = 7) = 77520 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^7 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \]
Шаг 5: Вычисление
Теперь нам нужно посчитать:
\(\left(\frac{1}{6}\right)^7 \approx 0.000021433\)
\(\left(\frac{5}{6}\right)^{13} \approx 0.24609368\)
Теперь подставим эти значения:
\[ P(X = 7) \approx 77520 \cdot 0.000021433 \cdot 0.24609368 \approx 0.391486 \]
Шаг 6: Округление
Ответ округляем до тысячных:
\[ P(X = 7) \approx 0.391 \]
Ответ
Вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз при 20 бросках кубика, составляет примерно 0.391.
Обсуждение
2 сообщенияПомещение освещено 16 лампами. Известно, что вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,3. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в конце года перегорят ровно три лампы. Ответ округлите до тысячных.
Для решения этой задачи воспользуемся биномиальным распределением, так как у нас есть фиксированное количество независимых испытаний, каждое из которых имеет два возможных исхода (лампа перегорела или не перегорела).
Шаг 1: Определение параметров
- \( n = 16 \) — общее количество ламп.
- \( k = 3 \) — количество перегоревших ламп.
- \( p = 0.3 \) — вероятность того, что одна лампа перегорит.
- \( q = 1 - p = 0.7 \) — вероятность того, что лампа не перегорит.
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что из \( n \) ламп точно \( k \) перегорят, рассчитывается по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, вычисляемый как:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Шаг 3: Подстановка значений
- Вычисляем биномиальный коэффициент \( C(16, 3) \):
\[ C(16, 3) = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16!}{3! \cdot 13!} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560 \]
- Вычисляем \( p^k \) и \( q^{n-k} \):
\[ p^k = (0.3)^3 = 0.027 \]
\[ q^{n-k} = (0.7)^{16-3} = (0.7)^{13} \approx 0.022058 \]
- Теперь подставим все значения в формулу:
\[ P(X = 3) = C(16, 3) \cdot p^3 \cdot q^{13} \] \[ P(X = 3) = 560 \cdot 0.027 \cdot 0.022058 \]
Шаг 4: Вычисление
Теперь произведем расчеты:
\[ P(X = 3) = 560 \cdot 0.027 \cdot 0.022058 \approx 0.027 \cdot 0.022058 \approx 0.000594 \]
\[ P(X = 3) \approx 560 \cdot 0.000594 = 0.3324 \]
Шаг 5: Округление
Округляем до тысячных:
\[ P(X = 3) \approx 0.332 \]
Ответ
Вероятность того, что в конце года перегорят ровно три лампы, составляет примерно 0.332.
