Игральный кубик бросают 20 раз. Найдите вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз. Ответ округлите до тысячных.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для вычисления вероятности в биномиальном распределении. ### Шаг 1: Понимание условий задачи Мы имеем: - Игральный кубик бросают 20 раз. - Нам нужно найти вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз. ### Шаг 2: Определение параметров Для биномиального распределения нам нужно определить следующие параметры: - \( n \) — общее количество испытаний (бросков). В нашем случае \( n = 20 \). - \( k \) — количество успешных испытаний (выпадений шестёрки). В нашем случае \( k = 7 \). - \( p \) — вероятность успеха в каждом испытании. Для игрального кубика вероятность выпадения шестёрки равна \( p = \frac{1}{6} \). - \( q \) — вероятность неудачи, которая равна \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \). ### Шаг 3: Формула биномиального распределения Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит так: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, вычисляемый по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] ### Шаг 4: Подстановка значений 1. **Вычисляем биномиальный коэффициент \( C(20, 7) \)**: \[ C(20, 7) = \frac{20!}{7!(20-7)!} = \frac{20!}{7! \cdot 13!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 77520 \] 2. **Вычисляем \( p^k \) и \( q^{n-k} \)**: \[ p^k = \left(\frac{1}{6}\right)^7 \] \[ q^{n-k} = \left(\frac{5}{6}\right)^{20-7} = \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \] 3. **Теперь подставим все значения в формулу**: \[ P(X = 7) = C(20, 7) \cdot p^7 \cdot q^{13} \\ P(X = 7) = 77520 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^7 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{13} \] ### Шаг 5: Вычисление Теперь нам нужно посчитать: 1. \(\left(\frac{1}{6}\right)^7 \approx 0.000021433\) 2. \(\left(\frac{5}{6}\right)^{13} \approx 0.24609368\) Теперь подставим эти значения: \[ P(X = 7) \approx 77520 \cdot 0.000021433 \cdot 0.24609368 \approx 0.391486 \] ### Шаг 6: Округление Ответ округляем до тысячных: \[ P(X = 7) \approx 0.391 \] ### Ответ Вероятность того, что шестёрка выпадет ровно 7 раз при 20 бросках кубика, составляет примерно **0.391**.