(3x+8)²>3x(x+16)

Чтобы решить неравенство (3x + 8)² > 3x(x + 16), давайте пройдёмся по шагам.

Шаг 1: Раскроем обе части неравенства.

Начнем с левой части: \[ (3x + 8)² = 9x² + 48x + 64. \]

Теперь раскроем правую часть: \[ 3x(x + 16) = 3x² + 48x. \]

Теперь можем записать неравенство в следующем виде: \[ 9x² + 48x + 64 > 3x² + 48x. \]

Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону.

Переносим правую часть в левую: \[ 9x² + 48x + 64 - 3x² - 48x > 0. \]

Упрощаем: \[ 6x² + 64 > 0. \]

Шаг 3: Выносим общий множитель.

В данном неравенстве мы можем вынести 2: \[ 2(3x² + 32) > 0. \]

Шаг 4: Анализируем неравенство.

Поскольку 2 — положительное число, мы можем игнорировать его при определении знака неравенства: \[ 3x² + 32 > 0. \]

Теперь проанализируем это выражение. Поскольку \(3x²\) всегда неотрицательное (квадрат любого числа не меньше нуля) и 32 — положительное число, то сумма \(3x² + 32\) всегда будет положительной для всех x.

Вывод.

Таким образом, неравенство \(6x² + 64 > 0\) выполняется для всех значений \(x\).

Ответ: Решение неравенства — все действительные числа \(x \in \mathbb{R}\).