Чтобы решить неравенство (3x + 8)² > 3x(x + 16), давайте пройдёмся по шагам.
Шаг 1: Раскроем обе части неравенства.
Начнем с левой части:
[
(3x + 8)² = 9x² + 48x + 64.
]
Теперь раскроем правую часть:
[
3x(x + 16) = 3x² + 48x.
]
Теперь можем записать неравенство в следующем виде:
[
9x² + 48x + 64 > 3x² + 48x.
]
Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону.
Переносим правую часть в левую:
[
9x² + 48x + 64 - 3x² - 48x > 0.
]
Упрощаем:
[
6x² + 64 > 0.
]
Шаг 3: Выносим общий множитель.
В данном неравенстве мы можем вынести 2:
[
2(3x² + 32) > 0.
]
Шаг 4: Анализируем неравенство.
Поскольку 2 — положительное число, мы можем игнорировать его при определении знака неравенства:
[
3x² + 32 > 0.
]
Теперь проанализируем это выражение. Поскольку (3x²) всегда неотрицательное (квадрат любого числа не меньше нуля) и 32 — положительное число, то сумма (3x² + 32) всегда будет положительной для всех x.
Вывод.
Таким образом, неравенство (6x² + 64 > 0) выполняется для всех значений (x).
Ответ: Решение неравенства — все действительные числа (x \in \mathbb{R}).
