5кос2а - 4синкоса= 3кос а

Давайте решим уравнение: \[ 5 \cos^2 a - 4 \sin k \cos a = 3 \cos a. \] ### Шаг 1: Приведем уравнение к стандартному виду Для удобства мы можем перенести все члены на одну сторону уравнения: \[ 5 \cos^2 a - 4 \sin k \cos a - 3 \cos a = 0. \] Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos a\). Давайте обозначим \(\cos a\) как \(x\): \[ 5x^2 - (4 \sin k + 3)x = 0. \] ### Шаг 2: Факторизация Из данного уравнения можно вынести \(x\): \[ x (5x - (4 \sin k + 3)) = 0. \] Это дает нам два возможных решения: 1. \( x = 0 \) (то есть \( \cos a = 0 \)), 2. \( 5x - (4 \sin k + 3) = 0 \). ### Шаг 3: Решаем для \( x = 0 \) Когда \(\cos a = 0\), это происходит при: \[ a = \frac{\pi}{2} + n\pi, \] где \(n\) — любое целое число. ### Шаг 4: Решаем второе уравнение Теперь решим уравнение: \[ 5x = 4 \sin k + 3, \] или \[ x = \frac{4 \sin k + 3}{5}. \] Так как \(x = \cos a\), нам нужно, чтобы значение справа попало в интервал от -1 до 1 (поскольку косинус принимает значения только в этом интервале). ### Шаг 5: Ограничения Теперь проверим, для каких значений \(k\) выражение \(\frac{4 \sin k + 3}{5}\) лежит в пределах от -1 до 1. 1. **Для нижнего предела**: \[ \frac{4 \sin k + 3}{5} \geq -1 \] \[ 4 \sin k + 3 \geq -5 \rightarrow 4 \sin k \geq -8 \rightarrow \sin k \geq -2. \] Это всегда верно, так как \(\sin k\) всегда лежит в интервале \([-1, 1]\). 2. **Для верхнего предела**: \[ \frac{4 \sin k + 3}{5} \leq 1 \] \[ 4 \sin k + 3 \leq 5 \rightarrow 4 \sin k \leq 2 \rightarrow \sin k \leq \frac{1}{2}. \] Решение этого неравенства определяет возможные значения \(k\). ### Шаг 6: Найдем значения \(k\) Условие для \(\sin k \leq \frac{1}{2}\) относится к углам: \[ k \leq \frac{\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{или} \quad k \geq \frac{5\pi}{6} + 2n\pi, \] где \(n\) — любое целое число. ### Заключение Мы нашли решения для \(\cos a = 0\) и определили, при каких значениях \(k\) \( \frac{4 \sin k + 3}{5} \) будет допустимо. Таким образом, у нас есть два типа решений: 1. \( a = \frac{\pi}{2} + n\pi \), 2. \( a = \cos^{-1}\left(\frac{4 \sin k + 3}{5}\right) \) (при условии, что \(\sin k \leq \frac{1}{2}\)).