Число 𝑎 даёт остаток 6 при делении на 7. Найдите остаток от деления 𝑎2 на 7.

Давай решим задачу шаг за шагом.

1. Понимание условия задачи: Нам дано, что число \( a \) при делении на 7 даёт остаток 6. Это можно записать математически:

   \[ a \equiv 6 \ (\text{mod} \ 7) \]

   Это означает, что существует такое целое число \( k \), что \( a = 7k + 6 \).

2. Найдем \( a^2 \): Чтобы найти остаток от деления \( a^2 \) на 7, начнём с того, что выразим \( a^2 \):

   \[ a^2 = (7k + 6)^2 \]

   Раскроем скобки:

   \[ a^2 = (7k)^2 + 2 \cdot (7k) \cdot 6 + 6^2 = 49k^2 + 84k + 36 \]

3. Преобразуем выражение: Теперь нам нужно найти остаток от \( a^2 \) при делении на 7. Мы можем упростить выражение, взяв его остатки по модулю 7:

   • \( 49k^2 \) делится на 7, поэтому \( 49k^2 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) \).
   • \( 84k \) также делится на 7, следовательно \( 84k \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) \).
   • 36 делим на 7:

   \[ 36 \div 7 = 5 \quad \text{(остаток 1)} \]

   Таким образом:

   \[ 36 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 7) \]

4. Соберём все части вместе: Теперь подставим наши результаты обратно в выражение для \( a^2 \):

   \[ a^2 \equiv 0 + 0 + 1 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 7) \]

5. Ответ: Мы нашли, что остаток от деления \( a^2 \) на 7 равен 1:

\[ \boxed{1} \]

Таким образом, остаток от деления \( a^2 \) на 7 при условии, что \( a \) даёт остаток 6 при делении на 7, равен 1.