Число 𝑎 даёт остаток 6 при делении на 7. Найдите остаток от деления 𝑎2 на 7.

Давай решим задачу шаг за шагом. 1. **Понимание условия задачи**: Нам дано, что число \( a \) при делении на 7 даёт остаток 6. Это можно записать математически: \[ a \equiv 6 \ (\text{mod} \ 7) \] Это означает, что существует такое целое число \( k \), что \( a = 7k + 6 \). 2. **Найдем \( a^2 \)**: Чтобы найти остаток от деления \( a^2 \) на 7, начнём с того, что выразим \( a^2 \): \[ a^2 = (7k + 6)^2 \] Раскроем скобки: \[ a^2 = (7k)^2 + 2 \cdot (7k) \cdot 6 + 6^2 = 49k^2 + 84k + 36 \] 3. **Преобразуем выражение**: Теперь нам нужно найти остаток от \( a^2 \) при делении на 7. Мы можем упростить выражение, взяв его остатки по модулю 7: - \( 49k^2 \) делится на 7, поэтому \( 49k^2 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) \). - \( 84k \) также делится на 7, следовательно \( 84k \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) \). - 36 делим на 7: \[ 36 \div 7 = 5 \quad \text{(остаток 1)} \] Таким образом: \[ 36 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 7) \] 4. **Соберём все части вместе**: Теперь подставим наши результаты обратно в выражение для \( a^2 \): \[ a^2 \equiv 0 + 0 + 1 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 7) \] 5. **Ответ**: Мы нашли, что остаток от деления \( a^2 \) на 7 равен 1: \[ \boxed{1} \] Таким образом, остаток от деления \( a^2 \) на 7 при условии, что \( a \) даёт остаток 6 при делении на 7, равен 1.