Чтобы решить задачу, начнем с определения понятий, которые нам понадобятся.
Кинетическая энергия ( E_k ) электрона связана с его массой и скоростью. В класической механике она вычисляется по формуле:
[
E_k = \frac{1}{2}mv^2
]
где:
- ( m ) — масса электрона (приблизительно ( 9.11 \times 10^{-31} ) кг),
- ( v ) — скорость электрона.
Энергия покоя ( E_0 ) электрона определяется по формуле:
[
E_0 = mc^2
]
где ( c ) — скорость света (( \approx 3 \times 10^8 ) м/с).
В данной задаче нужно найти такую скорость ( v ), при которой кинетическая энергия электрона в 5 раз больше его энергии покоя:
[
E_k = 5E_0
]
Подставим выражения для кинетической энергии и энергии покоя в уравнение:
[
\frac{1}{2}mv^2 = 5(mc^2)
]
Упростим уравнение относительно ( v ):
[
\frac{1}{2}mv^2 = 5mc^2
]
Здесь мы можем сократить массу ( m ) (при условии, что она не равна нулю):
[
\frac{1}{2}v^2 = 5c^2
]
Умножим обе стороны на 2:
[
v^2 = 10c^2
]
Извлечем корень из обоих сторон:
[
v = \sqrt{10}c
]
Теперь подставим значение скорости света ( c ):
[
v \approx \sqrt{10} \times 3 \times 10^8 , \text{м/с}
]
[
v \approx 9.49 \times 10^8 , \text{м/с}
]
Таким образом, для кинетической энергии электрона, чтобы она была в 5 раз больше его энергии покоя, нужно, чтобы скорость движения электрона была примерно ( 9.49 \times 10^8 , \text{м/с} ).
Важно
Так как эта скорость превышает скорость света, физически такое состояние невозможно, и это замечание подтверждает принципиальные ограничения специальной теории относительности. В реальных условиях электроны не могут двигаться с такой скоростью.
