Решить

Чтобы решить данную задачу, давайте разберемся с каждым пунктом по порядку.

1. Найдите производную функции

а) \( y = x^7 + 4x - 2\sqrt{x} + 1 \)

Шаг 1: Найдем производную каждого слагаемого.

1. Производная \( x^7 \) равна \( 7x^6 \).
2. Производная \( 4x \) равна \( 4 \).
3. Чтобы найти производную \( -2\sqrt{x} \), представим ее как \( -2x^{1/2} \). Используем правило степенной функции: производная \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \). Для \( -2x^{1/2} \) производная будет равна \( -2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = -x^{-1/2} \).
4. Производная от константы \( 1 \) равна \( 0 \).

Результат: \[ y' = 7x^6 + 4 - x^{-1/2} \]

б) \( y = (x - 4)(x + 4) \)

Шаг 1: Раскроем скобки.

\((x - 4)(x + 4) = x^2 - 16\)

Шаг 2: Найдем производную.

1. Производная \( x^2 \) равна \( 2x \).
2. Производная \( -16 \) равна \( 0 \).

Результат: \[ y' = 2x \]

2. Исследуйте функцию на точки максимума и минимума

Функция: \( y = 3x^2 - x^3 \)

Шаг 1: Найдем производную функции.

1. Производная \( 3x^2 \) равна \( 6x \).
2. Производная \( -x^3 \) равна \( -3x^2 \).

\[ y' = 6x - 3x^2 \]

Шаг 2: Найдем критические точки.

Решим уравнение \( y' = 0 \) для критических точек: \[ 6x - 3x^2 = 0 \\ 3x(2 - x) = 0 \]

Отсюда \( x = 0 \) или \( x = 2 \).

Шаг 3: Исследуем знак производной в интервалах.

1. Интервал \( (-\infty, 0) \): Выберите точку, например, \( x = -1 \). \( y'(-1) = 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9 \). Здесь \( y' < 0 \), функция убывает.
2. Интервал \( (0, 2) \): Выберите точку, например, \( x = 1 \). \( y'(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3 \). Здесь \( y' > 0 \), функция возрастает.
3. Интервал \( (2, \infty) \): Выберите точку, например, \( x = 3 \). \( y'(3) = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9 \). Здесь \( y' < 0 \), функция убывает.

Шаг 4: Найдем природу критических точек.

• В \( x = 0 \), \( y' \) меняется с минуса на плюс, это точка минимума.
• В \( x = 2 \), \( y' \) меняется с плюса на минус, это точка максимума.

Шаг 5: Найдем значения функции в этих точках.

1. \( y(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0 \).
2. \( y(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 12 - 8 = 4 \).

Результат:

• Минимум в точке \( x = 0 \), \( y = 0 \).
• Максимум в точке \( x = 2 \), \( y = 4 \).