решите пример (5x + 14)/(x ^ 2 - 4) = (x ^ 2)/(x ^ 2 - 4)
Чтобы решить уравнение \(\frac{5x + 14}{x^2 - 4} = \frac{x^2}{x^2 - 4}\), начнем с упрощения и приведения его к удобному виду. Обратите внимание, что \(x^2 - 4\) можно разложить как разность квадратов, то есть \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\). Это поможет нам выявить возможные ограничения на переменную \(x\).
Шаг 1: Убираем общие дроби
Поскольку дроби имеют одинаковый знаменатель \((x^2 - 4)\), мы можем умножить обе стороны уравнения на \(x^2 - 4\) (при условии, что \(x \neq 2\) и \(x \neq -2\), так как в этих случаях знаменатель становится равным нулю).
Умножая обе стороны на \(x^2 - 4\), мы получаем: \[ 5x + 14 = x^2 \]
Шаг 2: Приводим уравнение к стандартному виду
Переместим все члены в одно уравнение: \[ x^2 - 5x - 14 = 0 \]
Шаг 3: Решаем квадратное уравнение
Теперь можно решить квадратное уравнение \(x^2 - 5x - 14 = 0\) с помощью формулы дискримината: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -14\).
Подставляем значения: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \]
Шаг 4: Находим корни уравнения
Корни можно найти по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем наши значения: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 9}{2} \]
Теперь вычислим корни:
- \(\frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7\)
- \(\frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)
Шаг 5: Проверяем корни
Теперь, подставим найденные корни в исходное уравнение и проверим, не являются ли они запрещенными значениями (то есть не равны ли они 2 или -2):
- \(x = 7\) — допустимое значение.
- \(x = -2\) — запрещенное значение, так как делает знаменатель равным нулю.
Ответ
Единственным допустимым решением уравнения является: \[ x = 7 \]
Таким образом, мы разобрали уравнение на этапы, выполнили необходимые преобразования и нашли решение. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется помощь с другой задачей, не стесняйтесь задавать!
