\begin{align} \cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \} = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \} \\ &…
\begin{align} \cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \} = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace{(e^{ix} + e^{-ix})}_{2\cos(x)} - e^{i(n-2)x}\ \} \\ & = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x]. \end{align}
Давайте разберем данное уравнение, которое связано с тригонометрическими функциями и комплексными числами, шаг за шагом.
Шаг 1: Понимание выражения
У нас есть следующее равенство:
\[ \cos(nx) = \mathrm{Re} \left\{ e^{inx} \right\} \]
Здесь \( \cos(nx) \) – это косинус, который можно выразить через комплексные экспоненты с помощью формулы Эйлера:
\[ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta) \]
Шаг 2: Применение свойств комплексных чисел
Мы можем разложить \( e^{inx} \) следующим образом:
\[ e^{inx} = e^{i(n-1)x} \cdot e^{ix} \]
Здесь мы используем свойство произведения показателей. Теперь, добавим и вычтем \( e^{-ix} \):
\[ e^{ix} + e^{-ix} = 2\cos(x) \]
Таким образом, мы можем выразить \( e^{ix} \) в терминах косинуса:
\[ \cos(nx) = \mathrm{Re} \left\{ e^{i(n-1)x} (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix}) \right\} \]
Шаг 3: Упрощение выражения
Теперь, подставим в выражение:
\[ \cos(nx) = \mathrm{Re} \left\{ e^{i(n-1)x} \left( 2\cos(x) - e^{i(n-2)x} \right) \right\} \]
Шаг 4: Работа с дробями и косинусами
Следующий шаг – это раскрытие выражения:
\[ 2\cos(x)\cdot e^{i(n-1)x} - e^{i(n-2)x} \]
Шаг 5: Выделение действительной части
Запишем это выражение с раскрытием:
\[ \cos[(n-1)x] \cdot 2\cos(x) - \cos[(n-2)x] \]
То есть, мы выразили \( \cos(nx) \) как комбинацию \( \cos[(n-1)x] \) и \( \cos[(n-2)x] \).
Итоговый ответ
Таким образом, получили следующую формулу:
\[ \cos(nx) = 2\cos(x) \cdot \cos[(n-1)x] - \cos[(n-2)x] \]
Эта формула является полезной для вычисления косинуса угла, кратного \( n \cdot x \), если известны значения косинусов меньших углов.
Заключение
Мы разобрали данное равенство, используя свойства комплексных чисел и тригонометрические функции. Если у вас остались вопросы или требуется более детальное объяснение по какому-либо шагу, пожалуйста, дайте знать!
