Чтобы понять, как найти площадь закрашенного треугольника PQR, давайте проанализируем задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Понимание расположения фигур
- Окружность с центром в точке (О) и радиусом (10) см — это круглая фигура, в которой все точки находятся на расстоянии (10) см от центра (О).
- Квадрат (OPQR) построен внутри окружности, где точка (Q) находится на окружности, а точки (P) и (R) — соответственно, на двух других вершинах квадрата.
Шаг 2: Определение значений
Так как квадрат (OPQR) полностью вписан в окружность, его диагональ равна диаметру окружности. Поскольку радиус окружности (10) см, диаметр (D) будет равен:
[
D = 2 \times r = 2 \times 10 = 20 \text{ см}
]
Длина диагонали квадрата также равна:
[
d = a\sqrt{2}
]
где (a) — длина стороны квадрата. Устанавливаем равенство:
[
a\sqrt{2} = 20
]
Шаг 3: Найдем сторону квадрата
Решим это уравнение:
[
a = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \text{ см}
]
Шаг 4: Площадь треугольника PQR
Площадь треугольника можно найти, используя формулу:
[
S = \frac{1}{2} \times основание \times высота
]
В этом случае основание — это длина стороны (PQ) или (QR), а высота будет равно расстоянию от вершины (P) до стороны, на которой лежит точка (QR).
Вычисление площади
Так как (PQ) — это сторона квадрата, мы имеем:
[
PQ = QR = a = 10\sqrt{2} \text{ см}
]
Для треугольника (PQR) можно заметить, что базовая высота треугольника будет равна:
[
h = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}
]
Теперь можем найти площадь:
[
S_{PQR} = \frac{1}{2} \times PQ \times h = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{2} \times 5\sqrt{2}
]
Упрощаем:
[
S_{PQR} = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 \times 2 = \frac{100}{2} = 50 \text{ см}^2
]
Ответ
Таким образом, площадь закрашенного треугольника (PQR) равна (50) см².
