Дана окружность, с центром в точке о и радиусом 10см. Внутри окружности построен квадрат opQR, где Q - точка не окружности. Чему равна площадь закрашенного треугольника PQR
Чтобы понять, как найти площадь закрашенного треугольника PQR, давайте проанализируем задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Понимание расположения фигур
- Окружность с центром в точке \(О\) и радиусом \(10\) см — это круглая фигура, в которой все точки находятся на расстоянии \(10\) см от центра \(О\).
- Квадрат \(OPQR\) построен внутри окружности, где точка \(Q\) находится на окружности, а точки \(P\) и \(R\) — соответственно, на двух других вершинах квадрата.
Шаг 2: Определение значений
Так как квадрат \(OPQR\) полностью вписан в окружность, его диагональ равна диаметру окружности. Поскольку радиус окружности \(10\) см, диаметр \(D\) будет равен:
\[ D = 2 \times r = 2 \times 10 = 20 \text{ см} \]
Длина диагонали квадрата также равна:
\[ d = a\sqrt{2} \]
где \(a\) — длина стороны квадрата. Устанавливаем равенство:
\[ a\sqrt{2} = 20 \]
Шаг 3: Найдем сторону квадрата
Решим это уравнение:
\[ a = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \text{ см} \]
Шаг 4: Площадь треугольника PQR
Площадь треугольника можно найти, используя формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \]
В этом случае основание — это длина стороны \(PQ\) или \(QR\), а высота будет равно расстоянию от вершины \(P\) до стороны, на которой лежит точка \(QR\).
Вычисление площади
Так как \(PQ\) — это сторона квадрата, мы имеем:
\[ PQ = QR = a = 10\sqrt{2} \text{ см} \]
Для треугольника \(PQR\) можно заметить, что базовая высота треугольника будет равна:
\[ h = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см} \]
Теперь можем найти площадь:
\[ S_{PQR} = \frac{1}{2} \times PQ \times h = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} \]
Упрощаем:
\[ S_{PQR} = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 \times 2 = \frac{100}{2} = 50 \text{ см}^2 \]
Ответ
Таким образом, площадь закрашенного треугольника \(PQR\) равна \(50\) см².
