В треугольнике D F R DFR провели прямую, параллельную стороне F R FR так, что она пересекает стороны D F DF и D R DR в точках S S и Q Q соответственно. Найди длину стороны D F DF…
В треугольнике D F R DFR провели прямую, параллельную стороне F R FR так, что она пересекает стороны D F DF и D R DR в точках S S и Q Q соответственно. Найди длину стороны D F DF и площадь треугольника D F R DFR , если площадь треугольника D S Q DSQ равна 24 24 см 2 2 , S Q = 4 SQ=4 см, D S = 13 DS=13 см, F R = 12 FR=12 см.
Чтобы решить задачу, воспользуемся свойствами подобных треугольников и формулами для расчёта площади.
Определим подобие треугольников: В данной задаче мы имеем два треугольника: треугольник \( DFR \) и треугольник \( DSQ \). Прямая, проведенная параллельно стороне \( FR \), создаёт подобие треугольников. Поскольку \( SQ \parallel FR \), то по признаку подобия треугольники \( DFR \) и \( DSQ \) являются подобными.
Сравним пропорции сторон: Из подобия треугольников можем записать пропорцию для аналогичных сторон: \[ \frac{DS}{DF} = \frac{SQ}{FR} \]
Нам известны следующие значения:
- \( DS = 13 \, \text{см} \)
- \( SQ = 4 \, \text{см} \)
- \( FR = 12 \, \text{см} \)
Подставим известные значения в пропорцию: \[ \frac{13}{DF} = \frac{4}{12} \] Упрощаем правую часть: \[ \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] Составим уравнение: \[ \frac{13}{DF} = \frac{1}{3} \]
Решим уравнение на \( DF \): Перепишем уравнение: \[ 3 \cdot 13 = DF \implies DF = 39 \, \text{см} \]
Теперь найдем площадь треугольника \( DFR \): Площадь подобных треугольников со стороной \( DF \) и \( DS \) соотносятся как квадрат отношения их оснований: \[ \frac{S_{DFR}}{S_{DSQ}} = \left(\frac{DF}{DS}\right)^2 \]
Сначала найдем отношение сторон: \[ \frac{DF}{DS} = \frac{39}{13} = 3 \]
Затем найдём площади: \[ S_{DFR} = S_{DSQ} \cdot \left(\frac{DF}{DS}\right)^2 = 24 \cdot 3^2 = 24 \cdot 9 = 216 \, \text{см}^2 \]
Таким образом, длина стороны \( DF = 39 \, \text{см} \) и площадь треугольника \( DFR = 216 \, \text{см}^2 \).
