В треугольнике  D F R DFR провели прямую, параллельную стороне  F R FR так, что она пересекает стороны  D F DF и  D R DR в точках  S S и  Q Q соответственно. Найди длину стороны  D F DF и площадь треугольника  D F R DFR , если площадь треугольника  D S Q DSQ равна  24 24 см 2 2 ,  S Q = 4 SQ=4 см,  D S = 13 DS=13 см,  F R = 12 FR=12 см.

Чтобы решить задачу, воспользуемся свойствами подобных треугольников и формулами для расчёта площади. 1. **Определим подобие треугольников**: В данной задаче мы имеем два треугольника: треугольник \( DFR \) и треугольник \( DSQ \). Прямая, проведенная параллельно стороне \( FR \), создаёт подобие треугольников. Поскольку \( SQ \parallel FR \), то по признаку подобия треугольники \( DFR \) и \( DSQ \) являются подобными. 2. **Сравним пропорции сторон**: Из подобия треугольников можем записать пропорцию для аналогичных сторон: \[ \frac{DS}{DF} = \frac{SQ}{FR} \] Нам известны следующие значения: - \( DS = 13 \, \text{см} \) - \( SQ = 4 \, \text{см} \) - \( FR = 12 \, \text{см} \) Подставим известные значения в пропорцию: \[ \frac{13}{DF} = \frac{4}{12} \] Упрощаем правую часть: \[ \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] Составим уравнение: \[ \frac{13}{DF} = \frac{1}{3} \] 3. **Решим уравнение на \( DF \)**: Перепишем уравнение: \[ 3 \cdot 13 = DF \implies DF = 39 \, \text{см} \] 4. **Теперь найдем площадь треугольника \( DFR \)**: Площадь подобных треугольников со стороной \( DF \) и \( DS \) соотносятся как квадрат отношения их оснований: \[ \frac{S_{DFR}}{S_{DSQ}} = \left(\frac{DF}{DS}\right)^2 \] Сначала найдем отношение сторон: \[ \frac{DF}{DS} = \frac{39}{13} = 3 \] Затем найдём площади: \[ S_{DFR} = S_{DSQ} \cdot \left(\frac{DF}{DS}\right)^2 = 24 \cdot 3^2 = 24 \cdot 9 = 216 \, \text{см}^2 \] Таким образом, **длина стороны \( DF = 39 \, \text{см} \)** и **площадь треугольника \( DFR = 216 \, \text{см}^2 \)**.