доказать, что хорда непроходящая через центр короче хорды проходящей через центр

Для доказательства того, что хорда, не проходящая через центр окружности, короче хорды, проходящей через центр, воспользуемся геометрическим подходом.

Определение понятий

1. Хорда – это отрезок, соединяющий две точки на окружности.
2. Центр окружности – это точка, находящаяся на равном расстоянии от всех точек окружности.

Доказательство

1. Обозначим:

• Пусть радиус окружности равен \( R \).
• Пусть \( O \) – центр окружности.
• Хорда \( AB \) проходит через центр окружности (то есть точка \( O \) лежит на отрезке \( AB \)).
• Хорда \( CD \) не проходит через центр окружности.

2. Длина хорды, проходящей через центр:

Если хорда \( AB \) проходит через центр \( O \), то она делится на два равных отрезка:

• Пусть точка \( O \) делит \( AB \) на отрезки \( AO \) и \( OB \). Эти отрезки равны и каждый равно \( R \), и тогда: \[ AB = AO + OB = R + R = 2R \]

3. Длина хорды, не проходящей через центр:

Для хорды \( CD \), которая не проходит через центр, рассмотрим перпендикуляр из центра \( O \) к хорде \( CD \). Пусть точка пересечения этого перпендикуляра и хорды называется \( E \). По свойствам окружности:

• Расстояние от центра до хорды \( CD \) обозначим как \( d \), где \( d < R \).

Теперь, по теореме Пифагора в треугольнике \( OCE \) (где \( E \) – основание перпендикуляра, \( C \) и \( D \) – концы хорды): \[ OC^2 = OE^2 + EC^2 \] где \( OE = d \), \( EC = x \) (половина длины хорды): \[ R^2 = d^2 + x^2 \] Следовательно: \[ x^2 = R^2 - d^2 \] А длина хорды \( CD \): \[ CD = 2x = 2\sqrt{R^2 - d^2} \]

4. Сравнение длин:

Теперь сравним длины двух хорд:

1. Длина хорды \( AB \) равна \( 2R \).
2. Длина хорды \( CD \) равна \( 2\sqrt{R^2 - d^2} \).

Замечание:

Поскольку \( d^2 \) положительно и меньше, чем \( R^2 \) (так как \( d < R \)), имеем: \[ R^2 - d^2 > 0 \Rightarrow \sqrt{R^2 - d^2} < R \] Следовательно: \[ 2\sqrt{R^2 - d^2} < 2R \] То есть: \[ CD < AB \]

Заключение:

Мы доказали, что хорда, не проходящая через центр окружности, всегда короче хорды, проходящей через центр.