Реши систему уравнений

Чтобы решить систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 3 \frac{1}{3} \\ x^2 - y^2 = 8 \end{cases} \] перейдём к подробному разбору. ### Первый шаг: Перепишем дробь в первом уравнении: \[ \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 3 \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \] Умножим обе стороны уравнения на \(xy\): \[ y^2 + x^2 = \frac{10}{3}xy \] ### Второй шаг: Теперь у нас система: \[ \begin{cases} y^2 + x^2 = \frac{10}{3}xy \\ x^2 - y^2 = 8 \end{cases} \] ### Третий шаг: Добавим и вычтем два уравнения: 1. \( (y^2 + x^2) + (x^2 - y^2) = \frac{10}{3}xy + 8 \) \[ 2x^2 = \frac{10}{3}xy + 8 \] 2. \( (y^2 + x^2) - (x^2 - y^2) = \frac{10}{3}xy - 8 \) \[ 2y^2 = \frac{10}{3}xy - 8 \] ### Четвёртый шаг: Решаем первое уравнение системы, используя \(u = \frac{x}{y}\) и \(v = \frac{y}{x}\). Тогда: \[ u + v = \frac{10}{3} \] Решение данной системы становится проще через подстановку одного выражения в другое. ### Пятый шаг: Предположим \(u = k\), тогда \(v = \frac{10}{3} - k\) и нам нужно, чтобы произведение \(uv = 1\), откуда один корень можно подставить во второе уравнение через \(x^2 - y^2 = 8\). Решая алгебраически, получим \(k = 2\), отсюда: \[ x^2 - y^2 = 8 \] \[ \text{и} \] \[ 2x = 3y \text{ или } 2y = 3x \] Подставляя \(x = \frac{3}{2}y\) или \(y = \frac{3}{2}x\) в уравнение \(x^2 - y^2 = 8\), найдем значения \(x\) и \(y\). ### Ответ: \[ \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}\right) \quad \text{и} \quad \left(\sqrt{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right) \]