реши систему уравнений
Чтобы решить систему уравнений:
\[ \begin{cases} \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 3 \frac{1}{3} \\ x^2 - y^2 = 8 \end{cases} \]
перейдём к подробному разбору.
Первый шаг:
Перепишем дробь в первом уравнении:
\[ \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 3 \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \]
Умножим обе стороны уравнения на \(xy\):
\[ y^2 + x^2 = \frac{10}{3}xy \]
Второй шаг:
Теперь у нас система:
\[ \begin{cases} y^2 + x^2 = \frac{10}{3}xy \\ x^2 - y^2 = 8 \end{cases} \]
Третий шаг:
Добавим и вычтем два уравнения:
- \( (y^2 + x^2) + (x^2 - y^2) = \frac{10}{3}xy + 8 \)
\[ 2x^2 = \frac{10}{3}xy + 8 \]
- \( (y^2 + x^2) - (x^2 - y^2) = \frac{10}{3}xy - 8 \)
\[ 2y^2 = \frac{10}{3}xy - 8 \]
Четвёртый шаг:
Решаем первое уравнение системы, используя \(u = \frac{x}{y}\) и \(v = \frac{y}{x}\). Тогда:
\[ u + v = \frac{10}{3} \]
Решение данной системы становится проще через подстановку одного выражения в другое.
Пятый шаг:
Предположим \(u = k\), тогда \(v = \frac{10}{3} - k\) и нам нужно, чтобы произведение \(uv = 1\), откуда один корень можно подставить во второе уравнение через \(x^2 - y^2 = 8\).
Решая алгебраически, получим \(k = 2\), отсюда:
\[ x^2 - y^2 = 8 \] \[ \text{и} \] \[ 2x = 3y \text{ или } 2y = 3x \]
Подставляя \(x = \frac{3}{2}y\) или \(y = \frac{3}{2}x\) в уравнение \(x^2 - y^2 = 8\), найдем значения \(x\) и \(y\).
Ответ:
\[ \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}\right) \quad \text{и} \quad \left(\sqrt{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right) \]
