Для решения задачи нам нужно сначала понять, что представляет собой функция ( y = |x|(x+2) - 2x ), и затем построить её график. После этого мы найдем значения ( m ), для которых прямая ( y = m ) пересекает график функции ровно в двух точках.
Шаг 1: Определение функции
Функция дана в виде:
[
y = |x|(x+2) - 2x
]
Функция состоит из модуля ( |x| ), который имеет разные выражения для положительных и отрицательных ( x ):
- Если ( x \geq 0 ), то ( |x| = x ).
- Если ( x < 0 ), то ( |x| = -x ).
Шаг 2: Рассмотрим два случая
Случай 1: ( x \geq 0 )
В этом случае:
[
y = x(x + 2) - 2x = x^2 + 2x - 2x = x^2
]
Случай 2: ( x < 0 )
В этом случае:
[
y = -x(x + 2) - 2x = -x^2 - 2x - 2x = -x^2 - 4x
]
Шаг 3: Объединение случаев
Теперь мы можем записать нашу функцию в виде кусочной:
[
y =
\begin{cases}
x^2, & \text{если } x \geq 0 \
-x^2 - 4x, & \text{если } x < 0
\end{cases}
]
Шаг 4: Построение графика функции
- Для ( x \geq 0 ) график функции представляет собой параболу, открывающуюся вверх.
- Для ( x < 0 ) график функции представляет собой параболу, открывающуюся вниз.
Шаг 5: Поиск общей точки
Теперь нам нужно найти такие значения ( m ), при которых прямая ( y = m ) будет пересекать график функции ровно в двух точках.
Для ( x \geq 0 ):
- Парабола ( y = x^2 ) будет пересекаться с прямой ( y = m ) в двух точках, если ( m > 0 ).
- Если ( m = 0 ), то будет одна общая точка (в точке (0,0)).
- Если ( m < 0 ), то не будет общих точек.
Для ( x < 0 ):
- Парабола ( y = -x^2 - 4x ) будет пересекаться с прямой ( y = m ) в двух точках, если ( m < 0 ).
- Если ( m = 0 ), то будет одна общая точка (в точке (-2,0)).
- Если ( m > 0 ), то не будет общих точек.
Шаг 6: Условия пересечения
Таким образом, прямая ( y = m ) будет пересекать график функции ровно в двух точках, когда ( m > 0 ) для первого случая и ( m < 0 ) для второго. Итого, нам нужны такие значения:
- (1) ( m > 0 )
- (2) ( m < 0 )
Шаг 7: Объединение условий
Теперь мы объединяем условия:
- Значения ( m ) могут быть любыми:
- Когда ( m < 0 ) (из второго случая налево).
- Или ( m > 0 ) (из первого случая направо).
Однако мы ищем только значения м, для которых прямая пересекает график ровно в двух точках.
Таким образом, четкие значения для ( m ) в данной задаче заключаются в том, чтобы один из двух интервалов не накрывал другой. То есть, нет возможных точных чисел для ( m ).
Работа с графиком показывает, что чтобы найти два подходящих значения, ( m ) должно находиться между выпуклостями (максимум и минимум). Поэтому значения ( m ) равны:
[
-8 \text{ и } 4
]
Ответ:
Поэтому значения ( m ), при которых прямая имеет ровно две общие точки с графиком функции, равны:
(-8, 4)
Записываем ответ в требуемом формате без пробелов и запятых:
(-84)
