Уравнение окружности: х Уравнение прямой: х = а. Найди значения а, с которыми... (В ответе каждого пункта в первое и четвёртое окошки вводи необходимые знаки =, <, >; в третье…
Уравнение окружности: х Уравнение прямой: х = а. Найди значения а, с которыми... (В ответе каждого пункта в первое и четвёртое окошки вводи необходимые знаки =, <, >; в третье окошко вводи необходимое слово и, или; во второе и пятое окошки вводи числовые значения а, соблюдая направление числовой оси слева направо.) 1. ...прямая имеет одну общую точку с окружностью a a ; 2. ... прямая имеет две общие точки с окружностью a a ; 3. ... прямая не имеет общих точек с
Данная задача связана с геометрическими объектами — окружностью и прямой. Мы будем рассматривать уравнение окружности и уравнение прямой, чтобы выяснить, при каких значениях \( a \) прямая \( x = a \) имеет одно, два или ни одной общей точки с окружностью.
1. Уравнение окружности.
Рассмотрим окружность с центром в точке \( (h, k) \) и радиусом \( r \). Уравнение окружности имеет вид:
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
2. Уравнение прямой.
Уравнение прямой \( x = a \) представляет вертикальную прямую, которая проходит через точку \( (a, y) \) для любого значения \( y \).
Теперь подставим \( x = a \) в уравнение окружности:
\[ (a - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
Это уравнение можно переписать как:
\[ (y - k)^2 = r^2 - (a - h)^2 \]
3. Анализ решения:
Теперь анализируем, при каких условиях у нас будет 0, 1 или 2 решения для \( y \).
- Случай 1: Одна общая точка
Одна общая точка означает, что уравнение имеет одно решение для \( y \). Это происходит, когда правая сторона уравнения равна нулю:
\[ r^2 - (a - h)^2 = 0 \]
Отсюда следует:
\[ (a - h)^2 = r^2 \]
Решая это уравнение, получаем:
\[ a - h = r \quad \text{или} \quad a - h = -r \]
Таким образом, получаем:
\[ a = h + r \quad \text{или} \quad a = h - r \]
Итак, для одной общей точки:
\[ h - r \quad \text{и} \quad h + r \]
Формирование результата:
- \( a = h - r \)
- \( a = h + r \)
- Сравнение: \( < \)
Ответ:
\[ h - r \quad < \quad h + r \]
- Случай 2: Две общие точки
Две общие точки означают, что у нас есть два решения для \( y \). Это происходит, когда правая часть уравнения больше нуля:
\[ r^2 - (a - h)^2 > 0 \]
Это неравенство перерастает в:
\[ |a - h| < r \]
Что означает:
\[ -h - r < a < h + r \]
Итак, для двух общих точек:
\[ h - r \quad < \quad a \quad < \quad h + r \]
Формирование результата:
- \( a = h - r \)
- \( a = h + r \)
- Сравнение: \( > \)
Ответ:
\[ h - r \quad < \quad a \quad < \quad h + r \]
- Случай 3: Нет общих точек
Нет общих точек происходит, когда:
\[ r^2 - (a - h)^2 < 0 \]
Это неравенство означает:
\[ |a - h| > r \]
Что означает:
\[ a < h - r \quad \text{или} \quad a > h + r \]
Таким образом, для отсутствия общих точек:
- \( a < h - r \)
- \( a > h + r \)
В итоге у нас есть следующие ответы:
- \( h - r \quad = \quad a \quad < \quad h + r \)
- \( h - r \quad = \quad a \quad > \quad h + r \)
Теперь задача будет завершена. Подставьте свои значения \( h \) и \( r \) в формулы для получения конкретных чисел.
