y= x³-3x²+3x-5 1)найти extr и интервал возрастанию и убывания. 2)точки перегиба и интервалы выпуклости

Решим задачу поэтапно.

1. Находим экстремумы и интервалы возрастания и убывания

Для нахождения экстремумов функции, сначала найдем производную \(y\).

Шаг 1: Находим производную функции. \[ y = x^3 - 3x^2 + 3x - 5 \]

Вычисляем первую производную \(y'\): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(3x) - \frac{d}{dx}(5) \] \[ y' = 3x^2 - 6x + 3 \]

Шаг 2: Находим критические точки. Решим уравнение \(y' = 0\): \[ 3x^2 - 6x + 3 = 0 \]

Упростим уравнение: \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \]

Это можно записать как: \[ (x - 1)^2 = 0 \] Следовательно, \(x = 1\) является критической точкой.

Шаг 3: Определяем интервалы возрастания и убывания. Для этого исследуем знак производной \(y'\) в интервалах, определенных критической точкой \(x = 1\).

• Интервал \( (-\infty, 1) \): Например, возьмем \(x = 0\): \[ y'(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 3 = 3 \] (положительно)

• Интервал \( (1, +\infty) \): Например, возьмем \(x = 2\): \[ y'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 3 = 3(4) - 12 + 3 = 0 \] (ниже нуля)

Итоги по возрастанию и убыванию:

• Функция возрастает на интервале \((- \infty, 1)\).
• Функция убывает на интервале \((1, +\infty)\).

2. Находим точки перегиба и интервалы выпуклости

Для нахождения точек перегиба нам необходимо найти вторую производную \(y\).

Шаг 1: Находим вторую производную функции. \[ y' = 3x^2 - 6x + 3 \] Теперь находим производную от \(y'\): \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(6x) + \frac{d}{dx}(3) \] \[ y'' = 6x - 6 \]

Шаг 2: Находим точки перегиба. Решим уравнение \(y'' = 0\): \[ 6x - 6 = 0 \] \[ 6x = 6 \] \[ x = 1 \]

Шаг 3: Определяем интервалы выпуклости. Исследуем знак второй производной \(y''\) в интервалах, определенных найденной точкой перегиба \(x = 1\).

• Интервал \( (-\infty, 1) \): Например, возьмем \(x = 0\): \[ y''(0) = 6(0) - 6 = -6 \] (отрицательно, значит выпуклость вниз)

• Интервал \( (1, +\infty) \): Например, возьмем \(x = 2\): \[ y''(2) = 6(2) - 6 = 6 \] (положительно, значит выпуклость вверх)

Итоги по выпуклости:

• Функция выпуклая вниз на интервале \((- \infty, 1)\).
• Функция выпуклая вверх на интервале \((1, +\infty)\).

Ответ:

1. Экстремум: минимум в точке \(x = 1\). Интервалы: возрастание на \((- \infty, 1)\), убывание на \((1, +\infty)\).
2. Точка перегиба: \(x = 1\). Интервалы выпуклости: вниз на \((- \infty, 1)\), вверх на \((1, +\infty)\).