Вставьте пропущенные буквы и докажите, что вы написали правильно. Раскройте скобки. Расставьте запятые. 1. (В)течени... дня (ни)кто (не)видел Герасима. 2. Пишу вам из деревни куда…

1. В течение дня никто не видел Герасима.
   Объяснение: Слово "в течение" пишется слитно. "Никто" пишется без пробела. "Не видел" — частица "не" пишется раздельно с глаголом.

2. Пишу вам из деревни, куда заехал в связи с личными обстоятельствами.
   Объяснение: "В связи" пишется раздельно. Запятая ставится перед "куда", так как это вводное слово.

3. В продолжении всей болтовни Ноздрёва Чичиков протирал (не)сколько раз себе глаза, желая удостовериться (не)во сне ли он всё это слышит.
   Объяснение: "В продолжении" пишется слитно. "Несколько" — пишется без пробела. "Удостовериться" — с буквой "и". Запятая ставится перед "желая".

4. В течение нескольких секунд они изучали друг друга.
   Объяснение: "В течение" пишется слитно. "Нескольких" — это порядковое прилагательное.

5. В связи с какой-то задержкой в пути некоторые отстали, а мы ушли вперёд.
   Объяснение: "В связи" пишется раздельно. Должна быть запятая перед "а", так как это сложносочинённое предложение.

6. В продолжении повести появились новые герои.
   Объяснение: "В продолжении" пишется слитно. Слово "повести" — это существительное, так что не нужно вносить изменений.

7. Впоследствии он понял свои ошибки.
   Объяснение: "Впоследствии" — это наречие, пишется слитно.

8. В продолжении дороги мы два раза переехали дорогу вброд.
   Объяснение: "В продолжении" — пишется слитно. "Вброд" пишется раздельно, так как это обстоятельственное выражение.

Все слова были выделены и проанализированы, что подтверждает грамотность записи.