1) Сестра попросила меня, что(бы) я помог ей решить задачу. 2) Так(же) мощно, как вверх, эвкалипты растут и в толщину. 3) Лошадь не могла сдвинуть воз, (по)тому что заднее колесо…

Давайте разберем предложенные вами предложения с точки зрения грамматики и исправим их.

1. Сестра попросила меня, что(бы) я помог ей решить задачу.
   Исправление: "Сестра попросила меня, чтобы я помог ей решить задачу."
   Объяснение: В данном предложении нужно использовать союз "чтобы" для передачи цели действия.

2. Так(же) мощно, как вверх, эвкалипты растут и в толщину.
   Исправление: "Так же мощно, как вверх, эвкалипты растут и в толщину."
   Объяснение: "Так же" — это два слова, и их нужно писать раздельно.

3. Лошадь не могла сдвинуть воз, (по)тому что заднее колесо соскочило с оси.
   Исправление: "Лошадь не могла сдвинуть воз, потому что заднее колесо соскочило с оси."
   Объяснение: Дефис в слове "потому" не нужен; "потому что" — это устойчивое выражение.

4. В то(же) время ветер сильнее зашевелил листвой.
   Исправление: "В то же время ветер сильнее зашевелил листвой."
   Объяснение: "То же" также пишется раздельно, так как это выражение указывает на равноценность времени.

Если у вас есть вопросы по конкретным грамматическим правилам или конструкциям, пожалуйста, дайте мне знать!