найти ироауиональнве числа корень из x+1=x-5
Решим уравнение \(\sqrt{x + 1} = x - 5\).
Шаг 1: Извлечение корня
Сначала мы возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня. Это даст нам:
\[ (\sqrt{x + 1})^2 = (x - 5)^2 \]
Таким образом, получаем:
\[ x + 1 = (x - 5)(x - 5) \]
Шаг 2: Раскрытие скобок
Теперь раскроем скобки на правой стороне уравнения:
\[ x + 1 = x^2 - 10x + 25 \]
Шаг 3: Приведение уравнения к стандартному виду
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
\[ 0 = x^2 - 10x + 25 - x - 1 \]
Упрощаем:
\[ 0 = x^2 - 11x + 24 \]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение \(x^2 - 11x + 24 = 0\). Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 1\), \(b = -11\), \(c = 24\).
Подставим значения:
\[ x = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2} \] \[ x = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{11 \pm 5}{2} \]
Шаг 5: Вычисление корней
Теперь найдём корни:
- \(x_1 = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8\)
- \(x_2 = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
Шаг 6: Проверка корней
Теперь проверим, подходят ли найденные корни для исходного уравнения:
Для \(x = 8\):
- \(\sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3\)
- \(8 - 5 = 3\)
- Оба выражения равны, значит \(x = 8\) — это корень.
Для \(x = 3\):
- \(\sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\)
- \(3 - 5 = -2\)
- Оба выражения не равны, значит \(x = 3\) не является корнем.
Ответ
Таким образом, единственным решением уравнения \(\sqrt{x + 1} = x - 5\) является:
\[ x = 8 \]
