X³+5x²-4x-20=0

Для решения уравнения \( x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = 0 \) будем использовать метод подбора корней и, в случае необходимости, метод деления многочленов. ### Шаг 1: Подбор корней Мы попытаемся найти хотя бы один корень уравнения, подставляя целые числа. 1. **Проверим корень \( x = -5 \)**: \[ (-5)^3 + 5(-5)^2 - 4(-5) - 20 = -125 + 5 \cdot 25 + 20 - 20 \] \[ = -125 + 125 + 20 - 20 = 0 \] Значит, \( x = -5 \) является корнем уравнения. ### Шаг 2: Деление многочлена Теперь, когда мы нашли корень \( x = -5 \), можем разделить исходное уравнение на \( (x + 5) \) с помощью деления многочленов. #### Длинное деление многочленов: Делим \( x^3 + 5x^2 - 4x - 20 \) на \( x + 5 \). 1. **Первая итерация**: \( x^3 \div x = x^2 \). Умножаем: \( x^2(x + 5) = x^3 + 5x^2 \). Вычитаем: \[ (x^3 + 5x^2) - (x^3 + 5x^2) = 0 \] 2. **Вторая итерация**: \( -4x \div x = -4 \). Умножаем: \( -4(x + 5) = -4x - 20 \). Вычитаем: \[ (-4x - 20) - (-4x - 20) = 0 \] В итоге, мы получили, что \( x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = (x + 5)(x^2 - 4) \). ### Шаг 3: Решение оставшегося квадратного уравнения Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 - 4 = 0 \). 1. Переносим 4 на другую сторону: \[ x^2 = 4 \] 2. Извлекаем квадратный корень: \[ x = \pm 2 \] ### Шаг 4: Запись всех корней Теперь у нас есть все корни исходного уравнения: - \( x = -5 \) - \( x = 2 \) - \( x = -2 \) ### Ответ Таким образом, полное решение уравнения: \[ x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -5, \, x = 2, \, x = -2 \] Если у вас есть дополнительные вопросы по решению этой задачи, или нужно больше объяснений, обязательно дайте знать!