не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы y=x²+4 и прямой x+y=6
Чтобы найти координаты точек пересечения параболы \( y = x^2 + 4 \) и прямой \( x + y = 6 \), мы можем решить систему уравнений.
Запишем уравнение прямой в удобном виде.
У нас есть уравнение прямой: \[ x + y = 6 \] Его можно преобразовать, выразив \( y \): \[ y = 6 - x \]
Подставим выражение для \( y \) из уравнения прямой в уравнение параболы.
У нас парабола: \[ y = x^2 + 4 \] Подставим \( y = 6 - x \) в уравнение параболы: \[ 6 - x = x^2 + 4 \]
Приведем уравнение к стандартному виду.
Переносим все члены в одну сторону: \[ 0 = x^2 + x + 4 - 6 \] Упростим: \[ 0 = x^2 + x - 2 \] Или: \[ x^2 + x - 2 = 0 \]
Решим квадратное уравнение.
Для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) используем формулу: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \] В нашем случае \( a = 1, b = 1, c = -2 \).
Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
Теперь найдем корни: \[ x = \frac{{-1 \pm \sqrt{9}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-1 \pm 3}}{2} \] Таким образом, у нас два значения: \[ x_1 = \frac{{-1 + 3}}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{{-1 - 3}}{2} = -2 \]
Найдем соответствующие \( y \)-координаты для этих \( x \)-значений.
Подставим \( x_1 = 1 \) в уравнение прямой: \[ y_1 = 6 - 1 = 5 \]
Подставим \( x_2 = -2 \) в уравнение прямой: \[ y_2 = 6 - (-2) = 6 + 2 = 8 \]
Запишем координаты точек пересечения.
Таким образом, точки пересечения параболы и прямой имеют координаты: \[ (1, 5) \quad \text{и} \quad (-2, 8) \]
Ответ:
Координаты точек пересечения: \( (1, 5) \) и \( (-2, 8) \).
