Чтобы решить задачу, сначала обозначим стороны прямоугольника. Пусть одна сторона равна ( x ) см, тогда другая сторона, по условию задачи, будет равна ( x + 4 ) см.
По теореме Пифагора, диагональ прямоугольника можно вычислить по формуле:
[
d^2 = a^2 + b^2
]
Где:
- ( d ) — диагональ,
- ( a ) и ( b ) — стороны прямоугольника.
В данной задаче мы знаем, что квадрат диагонали равен 58 см:
[
d^2 = 58
]
Теперь, подставим наши обозначения для сторон в формулу:
[
d^2 = x^2 + (x + 4)^2
]
Раскроем скобки:
[
d^2 = x^2 + (x^2 + 8x + 16)
]
Сложим:
[
d^2 = 2x^2 + 8x + 16
]
Теперь подставим значение для ( d^2 ):
[
58 = 2x^2 + 8x + 16
]
Упрощаем уравнение:
[
2x^2 + 8x + 16 - 58 = 0
]
[
2x^2 + 8x - 42 = 0
]
Теперь можно упростить уравнение, поделив все его члены на 2:
[
x^2 + 4x - 21 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = 4 ), ( c = -21 ).
Подставим значения:
[
D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100
]
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:
[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-4 \pm \sqrt{100}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-4 \pm 10}}{2}
]
Посчитаем корни:
- ( x_1 = \frac{6}{2} = 3 )
- ( x_2 = \frac{-14}{2} = -7 ) (отрицательное значение отбрасываем, так как длина стороны не может быть отрицательной)
Таким образом, первая сторона прямоугольника:
[
x = 3 \text{ см}
]
Вторая сторона:
[
x + 4 = 3 + 4 = 7 \text{ см}
]
Ответ: Стороны прямоугольника равны 3 см и 7 см.
