Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Условие задачи:

• Два автомобилиста выехали одновременно из точки А в точку В.
• Первый автомобилист проехал весь путь с постоянной скоростью \( v_1 \).
• Второй автомобилист:
  • Проехал первую половину пути с скоростью \( v_1 - 8 \) км/ч.
  • Проехал вторую половину пути со скоростью 90 км/ч.
• Оба автомобилиста прибыли в точку В одновременно.
• Нужно найти скорость первого автомобилиста \( v_1 \), которая больше 75 км/ч.

Обозначения:

• Пусть длина всего пути равна \( S \).
• Тогда первая половина пути равна \( \frac{S}{2} \).

Время в пути:

1. Время первого автомобилиста:

   • Время, \( t_1 \), которое потратил первый автомобилист на весь путь (скорость \( v_1 \)): \[ t_1 = \frac{S}{v_1} \]

2. Время второго автомобилиста:

   • Время, \( t_2 \), который потратил второй автомобилист:
   • Первая половина пути (со скоростью \( v_1 - 8 \)): \[ t_2^{(1)} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 - 8} = \frac{S}{2(v_1 - 8)} \]
   • Вторая половина пути (со скоростью 90): \[ t_2^{(2)} = \frac{\frac{S}{2}}{90} = \frac{S}{180} \]
   • Полное время второго автомобилиста: \[ t_2 = t_2^{(1)} + t_2^{(2)} = \frac{S}{2(v_1 - 8)} + \frac{S}{180} \]

Условие на равенство времен:

Поскольку оба автомобилиста прибыли одновременно, времени должно быть одинаковым: \[ \frac{S}{v_1} = \frac{S}{2(v_1 - 8)} + \frac{S}{180} \]

Упрощение уравнения:

1. Уберем \( S \) из уравнения (предполагаем, что \( S \neq 0 \)): \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{2(v_1 - 8)} + \frac{1}{180} \]

2. Умножим обе стороны уравнения на \( 360v_1(v_1 - 8) \) (это общий знаменатель): \[ 360(v_1 - 8) = 180v_1 + 2v_1(v_1 - 8) \]

3. Раскроем скобки: \[ 360v_1 - 2880 = 180v_1 + 2v_1^2 - 16v_1 \]

4. Упростим уравнение: \[ 360v_1 - 2880 = 2v_1^2 + 164v_1 \] \[ 0 = 2v_1^2 + 164v_1 - 360v_1 + 2880 \] \[ 0 = 2v_1^2 - 196v_1 + 2880 \]

5. Далее, упрощаем, делим на 2: \[ 0 = v_1^2 - 98v_1 + 1440 \]

Решение квадратного уравнения:

Теперь используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-98)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1440 = 9604 - 5760 = 3844 \]

Теперь найдем корни уравнения: \[ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{98 \pm \sqrt{3844}}{2} \] \[ \sqrt{3844} = 62 \] \[ v_1 = \frac{98 \pm 62}{2} \]

Решаем для двух случаев:

1. \( v_1 = \frac{98 + 62}{2} = \frac{160}{2} = 80 \)
2. \( v_1 = \frac{98 - 62}{2} = \frac{36}{2} = 18 \)

Ответ:

Поскольку по условию скорость первого автомобилиста должна быть больше 75 км/ч: \[ v_1 = 80 \text{ км/ч} \]

Таким образом, скорость первого автомобилиста составляет 80 км/ч.