Настя хочет вписать натуральные числа от 1 до 8 в таблицу 2х4 по одному числу в каждую клетку без повтора. Число в каждой клетке должно быть одновременно меньше числа в клетке справа и меньше числа в клетке ниже. Сколькими способами Настя может заполнить таблицу?

Для решения задачи о заполнении таблицы 2х4 натуральными числами от 1 до 8 так, чтобы каждое число в клетке было меньше числа в клетке справа и меньше числа в клетке ниже, мы можем использовать комбинаторный подход. ### Шаг 1: Понимание структуры таблицы Таблица 2x4 состоит из 2 строк и 4 столбцов. Обозначим ячейки таблицы следующим образом: ``` a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 ``` где `a1`, `a2`, `a3`, `a4` — это числа первой строки, а `b1`, `b2`, `b3`, `b4` — второй строки. По условию задачи, должно выполняться следующее: - Для первой строки (a1 < a2 < a3 < a4) - Для второй строки (b1 < b2 < b3 < b4) - Поскольку каждая клетка в первой строке должна быть меньше соответствующей клетки во второй строке, мы имеем: - a1 < b1 - a2 < b2 - a3 < b3 - a4 < b4 ### Шаг 2: Комбинации выбора Разделим числа от 1 до 8 на две группы: первую и вторую строки. Обозначим количество чисел в первой строке как k, а во второй строке как 8-k. В данной задачи мы хотим, чтобы: - В первой строке были 4 числа, а во второй — 4 числа. Таким образом, мы должны выбрать 4 числа из 8 для первой строки. ### Шаг 3: Подсчет способов выбора чисел Выбор 4 чисел из 8 можно сделать с помощью комбинаторики. Количество способов выбрать 4 числа из 8 обозначается как C(8, 4). Это можно выразить как: \[ C(8, 4) = \frac{8!}{4! \cdot (8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} \] Рассчитаем это значение: - 8! = 40320 - 4! = 24 Подставляя эти значения, получаем: \[ C(8, 4) = \frac{40320}{24 \cdot 24} = \frac{40320}{576} = 70 \] ### Шаг 4: Расположение чисел в строках После того как мы выбрали 4 числа для первой строки, оставшиеся 4 числа автоматически попадут во вторую строку. Каждая строка должна быть упорядочена по возрастанию. Таким образом, для каждой выбранной группы из 4 чисел, они могут быть расположены только одним способом, что соответствует их упоминанию. ### Шаг 5: Подсчет окончательных результатов Итак, итоговое количество способов заполнить таблицу — это количество способов выбрать 4 числа для первой строки, а остальные 4 автоматически пойдут во вторую строку: \[ \text{Количество способов} = C(8, 4) = 70 \] Таким образом, Настя может заполнить таблицу 2x4 **70 способами**.