Чтобы решить задачу, воспользуемся концепцией вероятности. Нам нужно определить минимальное количество бросков ( n ), которое спортсмен должен совершить, чтобы вероятность того, что он попадет в сектор Бут, была не менее 0,6.
Шаг 1: Определение вероятностей
Спортсмен попадает в сектор Бут с вероятностью ( p = 0,2 ). Соответственно, вероятность того, что он не попадет в сектор Бут за один бросок, будет равна:
[
q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8
]
Шаг 2: Выражение для вероятности
Теперь нам нужно найти такое количество бросков ( n ), чтобы вероятность того, что спортсмен попадет хотя бы один раз в сектор Бут, была не менее 0,6. Вероятность того, что спортсмен не попадет в сектор Бут ни разу за ( n ) бросков составляет:
[
P(\text{не попадает ни разу}) = q^n = 0,8^n
]
Тогда вероятность того, что он попадет хотя бы один раз:
[
P(\text{попадает хотя бы раз}) = 1 - P(\text{не попадает ни разу}) = 1 - 0,8^n
]
Мы хотим, чтобы:
[
1 - 0,8^n \geq 0,6
]
Шаг 3: Упрощение неравенства
Перепишем неравенство:
[
0,8^n \leq 0,4
]
Шаг 4: Логарифмирование
Чтобы решить это неравенство, применим логарифм:
[
\log(0,8^n) \leq \log(0,4)
]
[
n \cdot \log(0,8) \leq \log(0,4)
]
Поскольку ( \log(0,8) ) — отрицательное число, необходимо поменять знак неравенства при делении:
[
n \geq \frac{\log(0,4)}{\log(0,8)}
]
Шаг 5: Подсчет значений
Теперь вычислим значения логарифмов (можно использовать логарифмы по основанию 10 или основанию e):
[
\log(0,4) \approx -0,39794
]
[
\log(0,8) \approx -0,09691
]
Теперь подставим значения:
[
n \geq \frac{-0,39794}{-0,09691} \approx 4,1
]
Поскольку ( n ) должно быть целым числом, округляем до следующего большего целого:
[
n \geq 5
]
Ответ
Таким образом, спортсмен должен совершить не менее 5 бросков, чтобы вероятность попасть в сектор Бут была не менее 0,6.
