491

Давайте решим задачу 491. Задача: Вычислить \( \cos(\alpha - \beta) + \sin(\pi - \alpha)\sin(\beta) \). ### Шаг 1: Формула для разности косинусов Формула для разности косинусов: \[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta. \] ### Шаг 2: Упрощение второго слагаемого Заметим, что: \[ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha. \] Поскольку синус функции симметричен относительно \(\pi\), у нас сохраняется знак. Заменим: \[ \sin(\pi - \alpha)\sin(\beta) = \sin(\alpha)\sin(\beta). \] ### Шаг 3: Подстановка Теперь подставим всё в изначальное выражение: \[ \cos(\alpha - \beta) + \sin(\pi - \alpha)\sin(\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta + \sin\alpha\sin\beta. \] ### Шаг 4: Упрощение Сложим одинаковые члены: \[ \cos\alpha\cos\beta + 2\sin\alpha\sin\beta. \] ### Заключение Итак, выражение упрощается до: \[ \cos\alpha\cos\beta + 2\sin\alpha\sin\beta. \] Это и будет решение данной задачи.