491

Давайте решим задачу 491.

Задача: Вычислить \( \cos(\alpha - \beta) + \sin(\pi - \alpha)\sin(\beta) \).

Шаг 1: Формула для разности косинусов

Формула для разности косинусов: \[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta. \]

Шаг 2: Упрощение второго слагаемого

Заметим, что: \[ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha. \] Поскольку синус функции симметричен относительно \(\pi\), у нас сохраняется знак.

Заменим: \[ \sin(\pi - \alpha)\sin(\beta) = \sin(\alpha)\sin(\beta). \]

Шаг 3: Подстановка

Теперь подставим всё в изначальное выражение: \[ \cos(\alpha - \beta) + \sin(\pi - \alpha)\sin(\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta + \sin\alpha\sin\beta. \]

Шаг 4: Упрощение

Сложим одинаковые члены: \[ \cos\alpha\cos\beta + 2\sin\alpha\sin\beta. \]

Заключение

Итак, выражение упрощается до: \[ \cos\alpha\cos\beta + 2\sin\alpha\sin\beta. \]

Это и будет решение данной задачи.