491 4)

Чтобы решить задачу 491 (подпункт 4), мы упростим выражение:

\[ \sin^2(\alpha + \beta) + \sin^2(\beta - \alpha) = \]

Воспользуемся тригонометрическими формулами:

1. Формула суммы и разности синусов: \[ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \]

   Тогда: \[ \sin^2(\alpha + \beta) = \frac{1 - \cos(2(\alpha + \beta))}{2} \] \[ \sin^2(\beta - \alpha) = \frac{1 - \cos(2(\beta - \alpha))}{2} \]

2. Сложим выражения: \[ \sin^2(\alpha + \beta) + \sin^2(\beta - \alpha) = \frac{1 - \cos(2(\alpha + \beta))}{2} + \frac{1 - \cos(2(\beta - \alpha))}{2} \]

3. Объединим: \[ = \frac{2 - \cos(2\alpha + 2\beta) - \cos(2\beta - 2\alpha)}{2} \]

4. Используем формулу сложения косинусов: \[ \cos C + \cos D = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \cos\left(\frac{C-D}{2}\right) \] Для \(\cos(2\alpha + 2\beta) + \cos(2\beta - 2\alpha)\), положим: \[ C = 2\alpha + 2\beta,\quad D = 2\beta - 2\alpha \] Тогда: \[ C + D = 4\beta, \quad C - D = 4\alpha \]

5. Подставим в формулу: \[ 2 \cos(2\beta) \cos(2\alpha) \]

6. Замена в исходное выражение: \[ \sin^2(\alpha + \beta) + \sin^2(\beta - \alpha) = \frac{2 - 2 \cos(2\beta) \cos(2\alpha)}{2} = 1 - \cos(2\beta) \cos(2\alpha) \]

Таким образом, выражение упрощается до:

\[ \boxed{1 - \cos(2\beta) \cos(2\alpha)} \]