491 4)

Чтобы решить задачу 491 (подпункт 4), мы упростим выражение: \[ \sin^2(\alpha + \beta) + \sin^2(\beta - \alpha) = \] Воспользуемся тригонометрическими формулами: 1. **Формула суммы и разности синусов**: \[ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \] Тогда: \[ \sin^2(\alpha + \beta) = \frac{1 - \cos(2(\alpha + \beta))}{2} \] \[ \sin^2(\beta - \alpha) = \frac{1 - \cos(2(\beta - \alpha))}{2} \] 2. **Сложим выражения**: \[ \sin^2(\alpha + \beta) + \sin^2(\beta - \alpha) = \frac{1 - \cos(2(\alpha + \beta))}{2} + \frac{1 - \cos(2(\beta - \alpha))}{2} \] 3. **Объединим**: \[ = \frac{2 - \cos(2\alpha + 2\beta) - \cos(2\beta - 2\alpha)}{2} \] 4. **Используем формулу сложения косинусов**: \[ \cos C + \cos D = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \cos\left(\frac{C-D}{2}\right) \] Для \(\cos(2\alpha + 2\beta) + \cos(2\beta - 2\alpha)\), положим: \[ C = 2\alpha + 2\beta,\quad D = 2\beta - 2\alpha \] Тогда: \[ C + D = 4\beta, \quad C - D = 4\alpha \] 5. **Подставим в формулу**: \[ 2 \cos(2\beta) \cos(2\alpha) \] 6. **Замена в исходное выражение**: \[ \sin^2(\alpha + \beta) + \sin^2(\beta - \alpha) = \frac{2 - 2 \cos(2\beta) \cos(2\alpha)}{2} = 1 - \cos(2\beta) \cos(2\alpha) \] Таким образом, выражение упрощается до: \[ \boxed{1 - \cos(2\beta) \cos(2\alpha)} \]