Для решения данной задачи начнем с обозначения параметров.
Обозначим:
- ( \rho_1 ) — плотность первого металла (г/см³),
- ( \rho_2 ) — плотность второго металла (г/см³).
По условиям задачи нам известно, что:
[
\rho_1 = \rho_2 + 6 , \text{г/см}^3
]
Также известно, что металлы смешиваются в массовом соотношении 7:3, то есть:
[
m_1:m_2 = 7:3
]
Это значит, что если масса первого металла составляет ( m_1 = 7x ), то масса второго металла будет ( m_2 = 3x ) для некоторого ( x ).
Общая масса сплава:
[
m_{total} = m_1 + m_2 = 7x + 3x = 10x
]
Согласно условиям задачи, общая масса сплава равна 0.8 кг или 800 г:
[
10x = 800 , \Rightarrow , x = 80
]
Теперь можем найти массы каждого металла:
[
m_1 = 7x = 7 \times 80 = 560 , \text{г}
]
[
m_2 = 3x = 3 \times 80 = 240 , \text{г}
]
Теперь найдем объемы каждого металла в сплаве. Используя формулу для объема:
[
V = \frac{m}{\rho}
]
Объем сплава будет рассчитан как сумма объемов каждого металла:
[
V = V_1 + V_2 = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}
]
Теперь подставим значения масс:
[
V = \frac{560}{\rho_1} + \frac{240}{\rho_2}
]
Подставим плотность второго металла из первого уравнения:
[
\rho_2 = \rho_1 - 6
]
Теперь подставляем:
[
V = \frac{560}{\rho_1} + \frac{240}{\rho_1 - 6}
]
Также известно, что, если бы деталь была сделана из второго металла, её масса была бы на 60% меньше:
[
m_{second} = m_{total} \times (1 - 0.6) = 0.8 , \text{кг} \times 0.4 = 0.32 , \text{кг} = 320 , \text{г}
]
Теперь можем записать уравнение для объема детали из второго металла:
[
V = \frac{320}{\rho_2} = \frac{320}{\rho_1 - 6}
]
Теперь у нас есть два уравнения для объема:
- ( V = \frac{560}{\rho_1} + \frac{240}{\rho_1 - 6} )
- ( V = \frac{320}{\rho_1 - 6} )
Приравняем эти два уравнения:
[
\frac{560}{\rho_1} + \frac{240}{\rho_1 - 6} = \frac{320}{\rho_1 - 6}
]
Умножим все уравнение на ( \rho_1(\rho_1 - 6) ), чтобы избавиться от знаменателей:
[
560(\rho_1 - 6) + 240\rho_1 = 320\rho_1
]
Раскроем скобки:
[
560\rho_1 - 3360 + 240\rho_1 = 320\rho_1
]
Соберем все слагаемые:
[
(560 + 240 - 320)\rho_1 = 3360
]
[
480\rho_1 = 3360
]
Теперь выразим плотность первого металла:
[
\rho_1 = \frac{3360}{480} = 7 , \text{г/см}^3
]
Таким образом, плотность первого металла равна ( \rho_1 = 7 , \text{г/см}^3 ). Если необходимо найти плотность второго металла, подставим ( \rho_1 ) в уравнение для ( \rho_2 ):
[
\rho_2 = 7 - 6 = 1 , \text{г/см}^3
]
Ответ: Плотность первого металла равна 7 г/см³.
