Давайте разберёмся с задачей.
У нас есть статистическая ситуация, где вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Нам нужно найти вероятность того, что стрелку потребуется не более четырёх выстрелов до первого попадания.
Шаг 1: Определение модели
Здесь мы имеем дело с распределением Геометрическим, так как мы рассматриваем независимые попытки (выстрелы) до первого успеха (попадания).
Вероятность первого попадания в m-ом выстреле описывается формулой:
[ P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p ]
где:
- ( p ) — вероятность попадания (0,3),
- ( (1 - p) ) — вероятность промаха (0,7),
- ( k ) — номер выстрела, на котором произошло первое попадание.
Шаг 2: Рассмотрим не более 4 выстрелов
Нам нужно найти вероятность того, что стрелок попадёт в мишень на первом, втором, третьем или четвёртом выстреле. Это можно записать в виде суммы вероятностей этих событий:
[ P(X \leq 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) ]
Шаг 3: Рассчитаем каждую из вероятностей
Для первого выстрела:
[
P(X = 1) = p = 0,3
]
Для второго выстрела:
[
P(X = 2) = (1 - p) \cdot p = 0,7 \cdot 0,3 = 0,21
]
Для третьего выстрела:
[
P(X = 3) = (1 - p)^{2} \cdot p = 0,7^{2} \cdot 0,3 = 0,49 \cdot 0,3 = 0,147
]
Для четвёртого выстрела:
[
P(X = 4) = (1 - p)^{3} \cdot p = 0,7^{3} \cdot 0,3 = 0,343 \cdot 0,3 = 0,1029
]
Шаг 4: Суммируем все вероятности
Теперь складываем все полученные вероятности:
[
P(X \leq 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
]
[
P(X \leq 4) = 0,3 + 0,21 + 0,147 + 0,1029 \approx 0,7599
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется не больше четырёх выстрелов, составляет примерно 0,7599 или 75,99%.
Если у вас есть ещё вопросы или нужна помощь с чем-то другим, дайте знать!
