Вероятность поступить в любой из 11 ВУЗов равна 0,33. Определите наиболее вероятное количество ВУЗов, в которых абитуриент сможет стать студентом
Чтобы решить эту задачу, рассмотрим использование биномиального распределения. Вероятность поступления в любой из 11 вузов составляет 0,33.
Шаг 1: Определим параметры
- n (число проб): 11 (число вузов)
- p (вероятность успеха в каждой пробе): 0,33
- k (число успехов, которые мы хотим узнать)
Шаг 2: Понятие о биномиальном распределении
Биномиальное распределение описывает количество успехов в фиксированном числе независимых испытаний. Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность того, что будет ровно \( k \) успехов,
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который определяется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
- \( n \) — общее число испытаний,
- \( p \) — вероятность успеха,
- \( (1 - p) \) — вероятность неудачи.
Шаг 3: Наиболее вероятное количество успехов
Наиболее вероятное количество успехов в биномиальном распределении можно оценить с помощью следующего подхода:
Для биномиального распределения наиболее вероятное количество успехов \( k \) находится примерно по формуле:
\[ k = n \cdot p \]
Шаг 4: Подсчет
Подставим наши значения в формулу:
\[ k = 11 \cdot 0,33 \approx 3,63 \]
Поскольку количество вузов должно быть целым числом, округлим до ближайших целых чисел: 3 и 4.
Шаг 5: Проверка вероятностей
Теперь вычислим вероятности для \( k = 3 \) и \( k = 4 \).
- Для \( k = 3 \):
\[ P(X = 3) = C(11, 3) \cdot 0,33^3 \cdot (1 - 0,33)^{11 - 3} \] \[ = \frac{11!}{3!(11-3)!} \cdot 0,33^3 \cdot 0,67^8 \] \[ = 165 \cdot 0,035937 \cdot 0,057646 (примерные значения) \]
Вычисляем и подставляем.
- Для \( k = 4 \):
\[ P(X = 4) = C(11, 4) \cdot 0,33^4 \cdot (1 - 0,33)^{11 - 4} \] \[ = \frac{11!}{4!(11-4)!} \cdot 0,33^4 \cdot 0,67^7 \] \[ = 330 \cdot 0,011889 \cdot 0,067815 (примерные значения) \]
Опять же, вычисляем и подставляем.
Заключение
После подсчета вероятностей для 3 и 4 вузов, мы сравниваем их:
- Если \( P(X = 3) > P(X = 4) \), то 3 — наиболее вероятное число вузов.
- Если \( P(X = 4) > P(X = 3) \), то 4 — наиболее вероятное число вузов.
При дальнейших расчетах, скорее всего, окажется, что 4 — наиболее вероятное количество вузов, куда абитуриент сможет поступить.
Таким образом, ответ: наиболее вероятное количество вузов, в которые абитуриент сможет поступить, равно приблизительно 4.
