В серии из 9 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p=0,4 найдите вероятность ровно 4 успехов. Результаты округлите до тысячных.
Для решения задачи о вероятности ровно 4 успехов в серии из 9 испытаний Бернулли с вероятностью успеха \( p = 0,4 \), мы используем формулу биномиального распределения. Она выглядит следующим образом:
\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
\]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность получения ровно \( k \) успехов,
- \( C(n, k) \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \), вычисляется как \( \frac{n!}{k!(n - k)!} \),
- \( p \) — вероятность успеха в каждом испытании,
- \( n \) — общее количество испытаний,
- \( k \) — количество успехов.
В нашей задаче:
- \( n = 9 \) (общее количество испытаний),
- \( k = 4 \) (количество успехов),
- \( p = 0,4 \) (вероятность успеха).
1. **Сначала находим число сочетаний \( C(9, 4) \):**
\[
C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9 - 4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!}
\]
Теперь вычислим \( 9! \), \( 4! \) и \( 5! \):
- \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5! \) (можно сократить с \( 5! \))
- \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
Теперь подставим значения:
\[
C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{3024}{24} = 126
\]
2. **Теперь подставим все значения в формулу:**
\[
P(X = 4) = C(9, 4) \cdot p^4 \cdot (1 - p)^{9 - 4}
\]
\[
P(X = 4) = 126 \cdot (0,4)^4 \cdot (0,6)^5
\]
3. **Вычислим \( (0,4)^4 \) и \( (0,6)^5 \):**
\[
(0,4)^4 = 0,4 \times 0,4 \times 0,4 \times 0,4 = 0,0256
\]
\[
(0,6)^5 = 0,6 \times 0,6 \times 0,6 \times 0,6 \times 0,6 = 0,07776
\]
4. **Теперь подставим эти значения в формулу:**
\[
P(X = 4) = 126 \cdot 0,0256 \cdot 0,07776
\]
\[
P(X = 4) = 126 \cdot 0,001989 \approx 0,250
\]
5. **Округлим до тысячных:**
Поэтому вероятность того, что в серии из 9 испытаний будет ровно 4 успеха, составляет примерно **0,250**.
