исследовать функцию и построить её график y=x/x+2

Давайте разобьем задачу на несколько этапов: исследование функции и построение её графика.

1. Исследование функции

Дана функция:
\[ y = \frac{x}{x + 2} \]

Шаг 1: Определение области определения

Область определения функции — это все значения \( x \), для которых функция имеет смысл. В данном случае функция определена для всех \( x \), кроме тех случаев, когда знаменатель равен нулю.

Решим уравнение:
\[ x + 2 = 0 \]
\[ x = -2 \]

Таким образом, область определения функции:
\[ D: x \in \mathbb{R}, x \neq -2 \]

Шаг 2: Находение асимптот

Асимптоты помогают понять поведение функции в бесконечности и при подходе к точкам разрыва.

• Вертикальная асимптота: Она возникает в точках, где функция не определена. У нас есть вертикальная асимптота в \( x = -2 \).

• Горизонтальная асимптота: Исследуем поведение функции при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{x}} = 1 \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x + 2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{x}} = 1 \] Таким образом, горизонтальная асимптота:
  \( y = 1 \).

Шаг 3: Нахождение нулей функции

Чтобы найти нули функции, приравняем \( y \) к нулю:
\[ 0 = \frac{x}{x + 2} \]

Это уравнение выполняется, когда числитель равен нулю: \[ x = 0 \]

Таким образом, функция имеет ноль в \( x = 0 \).

Шаг 4: Исследование знака функции

Исследуем знак функции на интервалах:

1. \( (-\infty, -2) \)
2. \( (-2, 0) \)
3. \( (0, \infty) \)

Выберем тестовые точки:

• Для \( x = -3 \): \[ y = \frac{-3}{-3 + 2} = \frac{-3}{-1} = 3 \] (положительное)

• Для \( x = -1 \): \[ y = \frac{-1}{-1 + 2} = \frac{-1}{1} = -1 \] (отрицательное)

• Для \( x = 1 \): \[ y = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3} \] (положительное)

Таким образом, знак функции:

• Положительно на интервале \( (-\infty, -2) \) и \( (0, \infty) \)
• Отрицательно на интервале \( (-2, 0) \)

2. Построение графика функции

Теперь, когда мы исследовали функцию, можем построить график.

1. Наносим оси координат.
2. Отмечаем точку разрыва на \( x = -2 \) (это вертикальная асимптота).
3. Отмечаем горизонтальную асимптоту \( y = 1 \).
4. Наносим ноль функции в \( x = 0 \) — точка пересечения с осью \( x \).
5. Соединяем полученные точки в соответствии с исследованными интервалами.

График будет выглядеть следующим образом:

• Функция начинает с положительного значения до \( x = -2 \), стремится к \( 1 \), затем пересекает ось \( x \) в \( (0,0) \) и снова стремится к \( 1 \) при \( x \to \infty \).

Заключение

Функция \( y = \frac{x}{x + 2} \):

• имеет область определения \( D: x \in \mathbb{R}, x \neq -2 \),
• вертикальная асимптота \( x = -2 \),
• горизонтальная асимптота \( y = 1 \),
• ноль функции в \( x = 0 \),
• знак функции изменяется на интервалах, как было указано.

Теперь вы имеете полное представление о функции и можете построить её график.