Исследовать функцию и построить её график y=x/x+2

Давайте разобьем задачу на несколько этапов: исследование функции и построение её графика. ### 1. Исследование функции Дана функция: \[ y = \frac{x}{x + 2} \] #### Шаг 1: Определение области определения Область определения функции — это все значения \( x \), для которых функция имеет смысл. В данном случае функция определена для всех \( x \), кроме тех случаев, когда знаменатель равен нулю. Решим уравнение: \[ x + 2 = 0 \] \[ x = -2 \] Таким образом, область определения функции: \[ D: x \in \mathbb{R}, x \neq -2 \] #### Шаг 2: Находение асимптот Асимптоты помогают понять поведение функции в бесконечности и при подходе к точкам разрыва. - **Вертикальная асимптота:** Она возникает в точках, где функция не определена. У нас есть вертикальная асимптота в \( x = -2 \). - **Горизонтальная асимптота:** Исследуем поведение функции при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{x}} = 1 \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x + 2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{x}} = 1 \] Таким образом, горизонтальная асимптота: \( y = 1 \). #### Шаг 3: Нахождение нулей функции Чтобы найти нули функции, приравняем \( y \) к нулю: \[ 0 = \frac{x}{x + 2} \] Это уравнение выполняется, когда числитель равен нулю: \[ x = 0 \] Таким образом, функция имеет ноль в \( x = 0 \). #### Шаг 4: Исследование знака функции Исследуем знак функции на интервалах: 1. \( (-\infty, -2) \) 2. \( (-2, 0) \) 3. \( (0, \infty) \) Выберем тестовые точки: - Для \( x = -3 \): \[ y = \frac{-3}{-3 + 2} = \frac{-3}{-1} = 3 \] (положительное) - Для \( x = -1 \): \[ y = \frac{-1}{-1 + 2} = \frac{-1}{1} = -1 \] (отрицательное) - Для \( x = 1 \): \[ y = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3} \] (положительное) Таким образом, знак функции: - Положительно на интервале \( (-\infty, -2) \) и \( (0, \infty) \) - Отрицательно на интервале \( (-2, 0) \) ### 2. Построение графика функции Теперь, когда мы исследовали функцию, можем построить график. 1. **Наносим оси координат.** 2. **Отмечаем точку разрыва** на \( x = -2 \) (это вертикальная асимптота). 3. **Отмечаем горизонтальную асимптоту** \( y = 1 \). 4. **Наносим ноль** функции в \( x = 0 \) — точка пересечения с осью \( x \). 5. **Соединяем полученные точки** в соответствии с исследованными интервалами. График будет выглядеть следующим образом: - Функция начинает с положительного значения до \( x = -2 \), стремится к \( 1 \), затем пересекает ось \( x \) в \( (0,0) \) и снова стремится к \( 1 \) при \( x \to \infty \). ### Заключение Функция \( y = \frac{x}{x + 2} \): - имеет область определения \( D: x \in \mathbb{R}, x \neq -2 \), - вертикальная асимптота \( x = -2 \), - горизонтальная асимптота \( y = 1 \), - ноль функции в \( x = 0 \), - знак функции изменяется на интервалах, как было указано. Теперь вы имеете полное представление о функции и можете построить её график.