Кодовый замок содержит 9 возможных цифр, из которых необходимо выбрать только одну. Какой будет вероятность, что замок можно открыть точно с 5-го раза?
Чтобы решить задачу о вероятности открытия кодового замка с 5-го раза, давайте детально разберёмся с каждым шагом.
Условия задачи:
- Замок имеет 9 возможных цифр (от 0 до 8).
- Мы хотим открыть замок точно с 5-го раза. Это означает, что первые 4 попытки должны быть неверными, а 5-я — верной.
Шаг 1: Вероятности для каждой попытки
Вероятность того, что первая попытка неудачна (выбрана неверная цифра):
Так как код имеет 9 возможных цифр, и только 1 из них правильная, вероятность выбрать неверную цифру:\[ P(\text{неудача}) = \frac{8}{9} \]
Вероятность того, что вторая попытка также неудачна:
\[ P(\text{неудача}) = \frac{8}{9} \]
Вероятность того, что третья попытка неудачна:
\[ P(\text{неудача}) = \frac{8}{9} \]
Вероятность того, что четвёртая попытка неудачна:
\[ P(\text{неудача}) = \frac{8}{9} \]
Вероятность того, что пятая попытка успешна (выбрана правильная цифра):
\[ P(\text{успех}) = \frac{1}{9} \]
Шаг 2: Объединение вероятностей
Теперь мы можем объединить эти вероятности, чтобы найти общую вероятность того, что первые 4 попытки будут неверными, а 5-я — верной.
Общая вероятность (P) будет равна произведению вероятностей:
\[ P = P(\text{неудача})^4 \times P(\text{успех}) = \left(\frac{8}{9}\right)^4 \times \left(\frac{1}{9}\right) \]
Шаг 3: Вычисление
Теперь вычислим значение:
\[ \left(\frac{8}{9}\right)^4 = \frac{8^4}{9^4} = \frac{4096}{6561} \]
Теперь умножим это значение на \(\frac{1}{9}\):
\[ P = \frac{4096}{6561} \times \frac{1}{9} = \frac{4096}{59049} \]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что замок можно открыть точно с 5-го раза, составляет:
\[ \frac{4096}{59049} \]
Это и есть наш окончательный ответ. Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь задавать!
