В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 288 рублей с копейками. Тогда Б. купил…
В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 288 рублей с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 500 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 320 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Известные данные:
- У акционера Б. есть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 руб.
- Средняя цена акций до покупки новой акции составила 288 рублей с копейками.
- После покупки акции за 500 рублей средняя цена все равно не достигла 320 рублей.
Обозначим количество акций до покупки: Пусть \( n \) — количество акций, которые были у Б. до покупки новой акции.
Найдём сумму цен акций до покупки: Если средняя цена акций до покупки составляет 288 рублей, то сумма цен всех акций можно выразить следующим образом: \[ S = 288n \] Здесь \( S \) — сумма цен всех акций.
Определим новую среднюю цену после покупки: После покупки одной новой акции за 500 рублей, количество акций станет \( n + 1 \). Теперь сумма цен всех акций будет равна \( S + 500 \): \[ S + 500 = 288n + 500 \] Следовательно, новая средняя цена станет: \[ \text{Новая средняя цена} = \frac{288n + 500}{n + 1} \]
Условие для средней цены: По условию задачи новая средняя цена не достигла 320 рублей: \[ \frac{288n + 500}{n + 1} < 320 \]
Умножим обе стороны неравенства на \( (n + 1) \) (поскольку \( n + 1 > 0 \)): \[ 288n + 500 < 320(n + 1) \] Раскроем скобки: \[ 288n + 500 < 320n + 320 \]
Приведем подобные: \[ 500 - 320 < 320n - 288n \] \[ 180 < 32n \] Разделим обе стороны на 32: \[ n > \frac{180}{32} = 5.625 \]
Следовательно, минимальное целое значение для \( n \) равно 6.
Проверим: Если \( n = 6 \), То сумма цен будет: \[ S = 288 \times 6 = 1728 \text{ рублей.} \] Добавим 500 рублей от купленной акции: \[ 1728 + 500 = 2228 \text{ рублей.} \] Теперь количество акций: \[ n + 1 = 6 + 1 = 7. \] Рассчитаем новую среднюю цену: \[ \text{Новая средняя цена} = \frac{2228}{7} \approx 318.29 \text{ рублей.} \] Это меньше 320 рублей, что соответствует условию задачи.
Таким образом, наименьшее количество акций, которое могло быть у Б. до покупки последней акции – это 6 акций.
