Решим обе задачи по порядку.
Задача 1: Объём шара 228π см³. Вычислите площадь поверхности шара.
Объём шара рассчитывается по формуле:
[
V = \frac{4}{3} \pi r^3
]
где ( V ) — объём шара, ( r ) — радиус.
Имеем, что ( V = 228\pi ):
[
\frac{4}{3} \pi r^3 = 228\pi
]
Убираем (\pi) из обоих сторон:
[
\frac{4}{3} r^3 = 228
]
Умножим обе стороны на (\frac{3}{4}):
[
r^3 = 228 \cdot \frac{3}{4}
]
[
r^3 = 171
]
Находим радиус ( r ):
[
r = \sqrt[3]{171}
]
Приблизительно,
[
r \approx 5.57 \text{ см}
]
Теперь вычислим площадь поверхности шара по формуле:
[
S = 4 \pi r^2
]
- Подставим найденное ( r ):
[
S = 4 \pi (5.57)^2
]
[
S \approx 4 \pi (31.1) \approx 124.4 \pi \text{ см}^2
]
Если нужно численное значение, то:
[
S \approx 124.4 \times 3.14 \approx 390.54 \text{ см}^2
]
Ответ:
Площадь поверхности шара составляет примерно ( 390.54 \text{ см}^2 ) (или ( 124.4 \pi \text{ см}^2 )).
Задача 2: Радиус основания конуса равен 20 см, образующая — 20,5 см. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии 1,5 см от его вершины. Найдите радиус полученного сечения, объем и площадь полной поверхности конуса.
Сначала сделаем необходимые вычисления.
1. Найдем высоту конуса:
Используем теорему Пифагора, так как конус имеет прямой образующий:
[
h = \sqrt{l^2 - r^2}
]
где ( l ) — образующая, ( r ) — радиус основания.
[
h = \sqrt{20.5^2 - 20^2} = \sqrt{420.25 - 400} = \sqrt{20.25} \approx 4.49 \text{ см}
]
2. Найдем радиус сечения:
Сечение параллельно основанию, следовательно, радиусы сечения пропорциональны удалению от вершины. Высота сечения от основания:
[
h_1 = h - 1.5 = 4.49 - 1.5 = 2.99 \text{ см}
]
Составим пропорцию:
[
\frac{R}{20} = \frac{h_1}{h} = \frac{2.99}{4.49}
]
Решим её:
[
R = 20 \cdot \frac{2.99}{4.49} \approx 20 \cdot 0.665 = 13.3 \text{ см}
]
3. Найдем объем конуса:
Формула объёма конуса:
[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
]
Подставляем значения радиуса и высоты:
[
V = \frac{1}{3} \pi (20^2) (4.49)
]
[
V \approx \frac{1}{3} \pi (400) (4.49) \approx \frac{1796}{3} \pi \approx 598.67 \pi \approx 1885 \text{ см}^3
]
4. Найдем площадь полной поверхности конуса:
Площадь полной поверхности:
[
S = \pi r^2 + \pi r l
]
Подставляем известные значения:
[
S = \pi (20^2) + \pi (20)(20.5)
]
[
S = 400\pi + 410\pi = 810\pi \text{ см}^2
]
Ответ:
- Радиус сечения: ( 13.3 \text{ см} )
- Объём конуса: ( 1885 \text{ см}^3 ) (или ( 598.67 \pi \text{ см}^3 ))
- Площадь полной поверхности конуса: ( 810\pi \text{ см}^2 ) (примерно ( 2545.56 \text{ см}^2 )).
