1.Объём шара 228π см3. Вычислите площадь поверхности шара. 2.Радиус основания конуса равен 20 см, образующая — 20,5 см. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на…

Решим обе задачи по порядку.

Задача 1: Объём шара 228π см³. Вычислите площадь поверхности шара.

Объём шара рассчитывается по формуле:

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

где \( V \) — объём шара, \( r \) — радиус.

1. Имеем, что \( V = 228\pi \): \[ \frac{4}{3} \pi r^3 = 228\pi \] Убираем \(\pi\) из обоих сторон: \[ \frac{4}{3} r^3 = 228 \]

2. Умножим обе стороны на \(\frac{3}{4}\): \[ r^3 = 228 \cdot \frac{3}{4} \] \[ r^3 = 171 \]

3. Находим радиус \( r \): \[ r = \sqrt[3]{171} \] Приблизительно, \[ r \approx 5.57 \text{ см} \]

Теперь вычислим площадь поверхности шара по формуле:

\[ S = 4 \pi r^2 \]

4. Подставим найденное \( r \): \[ S = 4 \pi (5.57)^2 \] \[ S \approx 4 \pi (31.1) \approx 124.4 \pi \text{ см}^2 \] Если нужно численное значение, то: \[ S \approx 124.4 \times 3.14 \approx 390.54 \text{ см}^2 \]

Ответ:

Площадь поверхности шара составляет примерно \( 390.54 \text{ см}^2 \) (или \( 124.4 \pi \text{ см}^2 \)).

Задача 2: Радиус основания конуса равен 20 см, образующая — 20,5 см. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии 1,5 см от его вершины. Найдите радиус полученного сечения, объем и площадь полной поверхности конуса.

Сначала сделаем необходимые вычисления.

1. Найдем высоту конуса:

Используем теорему Пифагора, так как конус имеет прямой образующий:

\[ h = \sqrt{l^2 - r^2} \] где \( l \) — образующая, \( r \) — радиус основания.

\[ h = \sqrt{20.5^2 - 20^2} = \sqrt{420.25 - 400} = \sqrt{20.25} \approx 4.49 \text{ см} \]

2. Найдем радиус сечения:

Сечение параллельно основанию, следовательно, радиусы сечения пропорциональны удалению от вершины. Высота сечения от основания:

\[ h_1 = h - 1.5 = 4.49 - 1.5 = 2.99 \text{ см} \]

Составим пропорцию:

\[ \frac{R}{20} = \frac{h_1}{h} = \frac{2.99}{4.49} \]

Решим её:

\[ R = 20 \cdot \frac{2.99}{4.49} \approx 20 \cdot 0.665 = 13.3 \text{ см} \]

3. Найдем объем конуса:

Формула объёма конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

Подставляем значения радиуса и высоты:

\[ V = \frac{1}{3} \pi (20^2) (4.49) \] \[ V \approx \frac{1}{3} \pi (400) (4.49) \approx \frac{1796}{3} \pi \approx 598.67 \pi \approx 1885 \text{ см}^3 \]

4. Найдем площадь полной поверхности конуса:

Площадь полной поверхности:

\[ S = \pi r^2 + \pi r l \]

Подставляем известные значения:

\[ S = \pi (20^2) + \pi (20)(20.5) \] \[ S = 400\pi + 410\pi = 810\pi \text{ см}^2 \]

Ответ:

1. Радиус сечения: \( 13.3 \text{ см} \)
2. Объём конуса: \( 1885 \text{ см}^3 \) (или \( 598.67 \pi \text{ см}^3 \))
3. Площадь полной поверхности конуса: \( 810\pi \text{ см}^2 \) (примерно \( 2545.56 \text{ см}^2 \)).