Найти иррациональное уравнение с ОДЗ 3 корень из x2-28=2

Давайте разберем данное уравнение. У нас есть уравнение \[ 3\sqrt{x^2 - 28} = 2. \] ### Шаг 1: Изолируем квадратный корень Чтобы решить уравнение, начнем с изоляции квадратного корня. Для этого разделим обе стороны уравнения на 3: \[ \sqrt{x^2 - 28} = \frac{2}{3}. \] ### Шаг 2: Возводим обе стороны в квадрат Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: \[ x^2 - 28 = \left(\frac{2}{3}\right)^2. \] ### Шаг 3: Вычисляем квадрат правой части Вычислим квадрат правой части: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}. \] Таким образом, уравнение становится: \[ x^2 - 28 = \frac{4}{9}. \] ### Шаг 4: Переносим 28 на правую сторону Теперь добавим 28 к обеим сторонам уравнения: \[ x^2 = 28 + \frac{4}{9}. \] Чтобы выполнить это действие, приведем 28 к общему знаменателю 9: \[ 28 = \frac{28 \cdot 9}{9} = \frac{252}{9}. \] Таким образом, \[ x^2 = \frac{252}{9} + \frac{4}{9} = \frac{252 + 4}{9} = \frac{256}{9}. \] ### Шаг 5: Вырезаем корень Теперь, чтобы найти \( x \), нам нужно извлечь квадратный корень из обеих сторон: \[ x = \pm \sqrt{\frac{256}{9}}. \] ### Шаг 6: Упрощаем корень Вытаскиваем корень: \[ x = \pm \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{9}} = \pm \frac{16}{3}. \] ### Шаг 7: Находим область допустимых значений (ОДЗ) Теперь найдем область допустимых значений (ОДЗ). Мы должны убедиться, что подкоренное выражение \( x^2 - 28 \) больше или равно нулю: \[ x^2 - 28 \geq 0. \] Решаем неравенство: 1. \( x^2 \geq 28 \) 2. \( x \leq -\sqrt{28} \) или \( x \geq \sqrt{28} \) Значение \( \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \approx 5.29 \). Поэтому: \[ x \leq -2\sqrt{7} \quad \text{или} \quad x \geq 2\sqrt{7}. \] ### Итоговое решение Таким образом, получаем два решения: \[ x = \frac{16}{3} \quad \text{и} \quad x = -\frac{16}{3}. \] Однако, чтобы убедиться, что эти решения подходят под ОДЗ: - \( \frac{16}{3} \approx 5.33 \), что больше, чем \( 2\sqrt{7} \approx 5.29 \). Это решение подходит. - \( -\frac{16}{3} \approx -5.33 \), что меньше, чем \( -2\sqrt{7} \). Это также решение подходит. Таким образом, уравнение имеет два решения: \[ x = \frac{16}{3} \quad \text{и} \quad x = -\frac{16}{3}. \]