найти иррациональное уравнение с ОДЗ 3 корень из x2-28=2
Давайте разберем данное уравнение. У нас есть уравнение
\[ 3\sqrt{x^2 - 28} = 2. \]
Шаг 1: Изолируем квадратный корень
Чтобы решить уравнение, начнем с изоляции квадратного корня. Для этого разделим обе стороны уравнения на 3:
\[ \sqrt{x^2 - 28} = \frac{2}{3}. \]
Шаг 2: Возводим обе стороны в квадрат
Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
\[ x^2 - 28 = \left(\frac{2}{3}\right)^2. \]
Шаг 3: Вычисляем квадрат правой части
Вычислим квадрат правой части:
\[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}. \]
Таким образом, уравнение становится:
\[ x^2 - 28 = \frac{4}{9}. \]
Шаг 4: Переносим 28 на правую сторону
Теперь добавим 28 к обеим сторонам уравнения:
\[ x^2 = 28 + \frac{4}{9}. \]
Чтобы выполнить это действие, приведем 28 к общему знаменателю 9:
\[ 28 = \frac{28 \cdot 9}{9} = \frac{252}{9}. \]
Таким образом,
\[ x^2 = \frac{252}{9} + \frac{4}{9} = \frac{252 + 4}{9} = \frac{256}{9}. \]
Шаг 5: Вырезаем корень
Теперь, чтобы найти \( x \), нам нужно извлечь квадратный корень из обеих сторон:
\[ x = \pm \sqrt{\frac{256}{9}}. \]
Шаг 6: Упрощаем корень
Вытаскиваем корень:
\[ x = \pm \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{9}} = \pm \frac{16}{3}. \]
Шаг 7: Находим область допустимых значений (ОДЗ)
Теперь найдем область допустимых значений (ОДЗ). Мы должны убедиться, что подкоренное выражение \( x^2 - 28 \) больше или равно нулю:
\[ x^2 - 28 \geq 0. \]
Решаем неравенство:
- \( x^2 \geq 28 \)
- \( x \leq -\sqrt{28} \) или \( x \geq \sqrt{28} \)
Значение \( \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \approx 5.29 \). Поэтому:
\[ x \leq -2\sqrt{7} \quad \text{или} \quad x \geq 2\sqrt{7}. \]
Итоговое решение
Таким образом, получаем два решения:
\[ x = \frac{16}{3} \quad \text{и} \quad x = -\frac{16}{3}. \]
Однако, чтобы убедиться, что эти решения подходят под ОДЗ:
- \( \frac{16}{3} \approx 5.33 \), что больше, чем \( 2\sqrt{7} \approx 5.29 \). Это решение подходит.
- \( -\frac{16}{3} \approx -5.33 \), что меньше, чем \( -2\sqrt{7} \). Это также решение подходит.
Таким образом, уравнение имеет два решения:
\[ x = \frac{16}{3} \quad \text{и} \quad x = -\frac{16}{3}. \]
